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(五)归一化

时间:2017-09-27 10:15:04      阅读:122      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:正态分布   分组   参考   位置   结果   而不是   技术   基于   能力   

之前已经看到了用直方图来显示数据集的重要性,以便分析图表形状,我们想要分析该形状,这样就可以严谨地思考平均值、中位数和众数并描述数据集,在偏态分布中平均值、中位数和众数各不相同,在很多情况下,中位数可能比平均值更有用,在正态分布中,平均值、中位数和众数几乎相等,还需要了解分布形状的哪些方面?

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举例说明

我们用一个故事来讲解,我从小到大都在玩象棋,四岁就学会了,在 7 岁的时候就开始参加比赛,对于我的象棋能力,我可以说出三个方面,首先是我的象棋评分是 1800 分,所有竞争对手都有评分,其次是在参加比赛的美国
象棋选手中,我的排名是第 8,110 位,这是基于评分的, 第三,我的排名比 88% 的美国象棋选手都高,哪个可以让你清晰地了解到我的象棋水平? A.□ 我的象棋评分是 1800 分 B.□ 在参加比赛的美国象棋选手中,我的排名是第 8,110 位 C.□ 我的排名高于 88% 的美国象棋选手
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C
对于A选项,对于大多数人来说,当我告诉他们我的评分是 1800 分时,他们并不知道这是什么意思,因为我们不知道评分范围是多少,最低分是多少,最高分是多少,有多少人得分大约为 1800 分,有多少人得分为 1,000 分,单凭这一个数据,信息量并不大。
对于B选项的数值也一样 我们大概知道有 8,000 人可能比我厉害,但是有多少人玩象棋呢?
百分比信息量就很大了,因此与找出平均值、中位数或众数哪个是最佳衡量指标相比,分布图的形状更加重要
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在这之后我们关心的是数据值的比例,小于或大于数据集中的某个值,如果我告诉你我的评分是 1800 分,在我告诉你评分分布图的形状之前,你并不知道 1800 分的含义,你可以看到低于某个值的比例。
如果我们关心的是低于某个值的比例,我们应该如何对柱状图进行操作,使用绝对频率还是相对频率?
答案是使用相对频率,并将所有绝对频率转换为比例。

我们再来看一个示例

平均下来,人们有 190 个 Facebook 好友,假设他们的样本分布图是下图这样的,首先,将每个频率转换为相对频率,并绘制出相对频率图表,请点击每个条形高度对应的单选按钮,转换为比例

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可以看到,相对频率分布图几乎和绝对频率分布图一样。

根据刚刚绘制的相对频率分布图,看看 Facebook 好友在 170210 个之间所占的比例是多少?
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如果看看该直方图,会发现中间两个最高的条形位于 170210 之间,比例分别是 0.2370.223,如果相加的话,结果是 0.46
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上一个问题相对比较简单,但在现实生活中,很难回答我们要回答的问题,例如在 180200 之间的比例是多少?
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你可能已经看到 180200 都位于分组中间,因此,我们无法确定这两个数字之间的比例是多少
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注意,在之前提到了直方图存在的问题,为了方便牺牲了一些细节,由于这些分组,我们无法判断小于或大于某些数字的比例是多少?但是我们想知道这些信息,看看分布图中的某些得分与其他得分相比的结果,如何获得更多细节呢?向数据集中添加更多数据、增加组距还是减小组距?

更小的组距可以提供更多细节,例如,将组距减少一半,现在组距是 10 而不是 20,这样柱或区间的数量就翻了一番,现在多了一倍的数值,可以让我们清晰地知道大于或小于这些值的比例。

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但是我们依然不知道有多少值小于每个分组之间的任何数值,例如,我们无法判断小于 175 的比例,理想情况下,我们尽量希望组距越小越好,实际上,是无穷小,但是随着我们增加分组数量足够大时,我们可以看到每个容器的频率要么是 0 或 1,这是因为分组太小了,很多分组中只有 1 个值甚至没有任何值,最终如果继续降低容器大小,分布图的形状变得松散起来

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现在我们陷入了困境,我们想要很小的组距,尽量提供更多的细节信息,描述出数据值相对于分布图剩余数据值的位置,最终,我们开始丢失分布图的形状。如果组距很大,则无法判断小于任何数据值的比例,我们将使用一个分布图理论模型来解决这一难题,该模型的曲线比较光滑,使用的是相对频率,这是一个理论上连续的分布图,可以用方程式来表示,这个简单的功能即方程式,使我们能够计算 x 轴上任何两个值之间的比例,这个曲线下的面积是多少?这是个非常难的问题,注意,对于这个柱状图,所有相对频率的和是多少?技术分享

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该曲线下的面积是 1,注意,对于频率来说,所有频率相加是 1 与之类似,该曲线下的面积等于所有容器里的所有频率的和,应该等于 1
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在大部分情况下,我们将重点研究正态分布数据,正态分布类型多样,有宽扁型、瘦高型或者介于二者之间,但曲线下的面积始终为 1 或 100%,之前还在正态分布数据集中看到平均值、中位数和众数几乎相等,在理论模型中,它们是完全相等的,理论模型是完美对称的,在现实生活中几乎不会发生,这些模型接近于我们的现实分布图,但是通常可以非常相近,在理论模型中,大多数数据都位于中间,分布在平均值、中位数和众数周围,之前我们有提到大约 68% 的数据在平均值的 1 个标准偏差内,95% 的数据在平均值的 2 个标准偏差内

 

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 特定值在 x 轴上的位置通常用标准偏差来描述,如上图,A点是平均值,B点是平均值加 1 个标准偏差,C点是平均值加 2 个标准偏差,类似地,D点是平均值减 1 个标准偏差,E点是平均值减 2 个标准偏差,无论数值是多少,我们都可以将其转换为与平均值的标准偏差值,我们将其称为 Z值

通过将正态分布中的数值转换为这个特殊数字 z就可以知道小于或大于该值的百分比,例如如果某个值与平均值相差 1 个标准偏差,则无论是哪种正态分布,我们都知道大约 84% 的数值小于该值,在之后, 我们将学习如何计算正态分布中小于或大于某个值的比例,在什么样的示例中,我们想要知道小于或大于特定值的比例呢?我们用另一个故事来描述

Andy:Katie,我一点也不受欢迎
Katie:别担心,我也是,我只有 63 个 Facebook 好友
Andy:我只有 54 个 Twitter 关注者
Facebook 好友的平均数量是 190 人 ,Twitter 关注者的平均数值是 208 人,看看比例,Katie的 Facebook 好友数是平均值的 33%,Andy的 Twitter 关注者也只有平均值的 25%
了解受欢迎程度更好的方式是看看分布情况,Facebook 好友和 Twitter 关注者的分布是正态的,Twitter 关注者的标准偏差是 60,但是 Facebook 好友的标准偏差只有 35,与平均值的标准偏差肯定是了解受欢迎程度
的更佳方式
根据这些分布情况 Katie的 Facebook 好友数量与Facebook 好友数量平均值的标准偏差是多少?注意,Katie有 63 个 Facebook 好友 Facebook 好友的平均数量是 190 个,标准偏差是 36,所以Katie的标准偏差是
多少?
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Katie与平均值的偏差是 127,用 127 除以 36将得出标准偏差,也就是 63 与平均值的差值,结果等于 3.53,所以对于Katie所具有的好友数量,Katie低于平均值 3.53 个标准偏差。
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相同的方法可以计算出Andy 大约低于平均值 2.57 个标准偏差
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如果 Andy 只使用 Twitter 而Katie只使用 Facebook,可以说 Andy 没有Katie受欢迎吗?在这个简单示例中,注意我们对受欢迎程度的定义是 Facebook 好友或 Twitter 关注者的数量,是或否?为什么?

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否,我们不能据此判断 Andy 更不受欢迎,即使他的Twitter 关注者比Katie的 Facebook 好友数量少,因为看分布图的话,它们都是不同的,我们可以通过在同一坐标轴上对比它们,换句话说,根据它们的唯一标准偏差,这叫做标准化分布图,使用 0 作为参考点。

当我们对 Andy 的数据和Katie的进行标准化后,发现Katie离平均值更远,标准化数据显示了在该分布图中的数值更高或更低,在 Facebook 好友分布图中,比Katie好友数多的人所占的比例比在 Twitter 关注者分布图中比 Andy 的关注者多的人所占的比例要高,也就是说Katie更不受欢迎。

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 标准偏差数量的公式:

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我们不仅关心各个值与平均值之间的距离,还关心这些值是小于还是大于平均值,在 x 轴上标准化任何数值时我们得出 Z 值,之前就将其称为 Z值,我们始终会用 x 减去平均值,然后除以标准偏差,这样,当某个值小于平均值时,结果会是负的 z 值。z 值是指任何值距离平均值的标准偏差数。因此,我们可以将正态分布中的任何值转换为 z 值,这么转换时,我们就标准化了分布图,我们可以对任何正态分布图进行标准化。

 我们来计算一下Katie的Z值是多少,Katie63 个 Facebook 好友,实际的 Facebook 好友数平均值是190,假设标准偏差是 36,则Katie的Z值是多少

 

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-3.53
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负的 Z 值意味着什么?

    A.□ 原始值是负数
    B.□ 原始值小于平均值
    C.□ 原始值小于 0
    D.□ 原始值减去均值是负数
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BD
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现在再做一道测验题,如果我们通过将所有值都转换为 z 值,来归一化分布图,该归一化分布图的新平均值会是多少?提示下,想想我们是怎么计算 z 值的,即该坐标轴上的任何值减去平均值,然后除以标准偏差。

注意,我们将下面这个分布图一直往这边移动,并移到 0 的位置,因为我们要减去平均值,所以本质上,如果我们有个平均值为 100 的正态分布图,我们减去平均值,即将该分布图往左移了 100 个位置,那么 新的平均值则为 0,

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还有一个更难的概念性问题,在归一化该分布图后,该分布图的新标准偏差是多少?

注意,当我们计算分布图中任何值的 z 值时,首先减去平均值,这会平移分布图而不会改变分布图的形状,这样 0 就变成了平均值,然后除以标准偏差,这样就改变了形状。这么来理解,这是任意的分布图 这是平均值 μ 这是标准偏差 σ,表示 σ 距离平均值一个标准偏差,在标准化该分布图后 σ 的 z 值是多少?当我们减去 μ 时,我们将分布图平移了,使 μ 变成 0,所以 σ 的 z 值将是 (σ-0)/σ即 σ/σ=1,所以任何值的 z 值,即距离平均值一个标准偏差,在标准化分布图后将为 1,表示这个正态分布或标准分布的新标准偏差是 1。

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 总结下,对于任何正态分布,我们都可以通过以下方式归一化该分布:首先减去平均值,将其平移到 0 处,然后除以标准偏差,使标准偏差等于 1,这就叫做标准正态分布。平均值为 0,标准偏差为 1,所以D处的 z 值将为 -1,C是距离 2 个标准偏差,E是距离 -2 个标准偏差,现在,数据集中的每个值都用距离平均值的标准偏差来表示。

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假设 Chris 非常受欢迎,他拥有的 Facebook 好友数大于平均值2.5 个标准偏差,也就是说他比 99% 的人好友数都要多,如果原始数据的真实标准偏差依然是 36,原始平均值依然是 190,那么,Chris有多少个 
Facebook 好友?这次 我们将 z 值转换成实际的值,而不是将某个值转换成了对应的 z 值。
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280
这是 Chris 的数据 比大约 99% 的人好友数都要多,高于平均值 2.5 个标准偏差,如果标准偏差是 36,那么 2.5 个标准偏差是多少?2.5 个标准偏差等于 36X2.5=90,所以 Chris 的好友数比平均值多 90 个,平均值是 190190+90=280 所以 Chris 有 280 个 Facebook 好友。
另一种解答方法是使用方程式,Chris 的 z 值是 2.5,等于原始值减去平均值,然后除以标准偏差,如果代入已知的值 2.5 是 z 的值 x (他的 Facebook 好友数),减去平均值,然后除以标准偏差,如果按照代数方法,交叉相乘 然后加上 190 就得出了Chris 的好友数(用 x 表示)为 280
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(五)归一化

标签:正态分布   分组   参考   位置   结果   而不是   技术   基于   能力   

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