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bzoj 4872: [Shoi2017]分手是祝愿

时间:2017-09-28 22:32:08      阅读:451      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:递推   code   sea   通过   式表   other   ret   put   href   

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。B 君在玩一个游戏,这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成,给定这 n 个灯的初始状态,下标为
从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭,我们用 1 来表示这个灯是亮的,用 0 表示这个灯是灭的,游戏
的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时,所有编号为 i 的约数(包括 1 和 i)的灯的状态都会被
改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机
操作一个开关,直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多, B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,
可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个
策略显然小于等于 k 步)操作这些开关。B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 k 步,使
用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定
是整数,所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。
接下来一行 n 个整数,每个整数是 0 或者 1,其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。
1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n;

Output

输出一行,为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

 

首先k=n的部分分;

考虑到如果要把第n号灯熄灭,那么一定要关第n号灯,同理我们可以从后往前地选择,然后每次sqrt(n)地修改一下每盏灯的状态;

由于每个开关按了两次等于没有按,所以每个开关最多是会按一次,而且通过从后往前的贪心策略,最优的方案是唯一的,但是无关顺序;

那么我们设f[i]为还需要按i步的期望步数,由于最优的方案是确定的,所以我们需要判断这一次随机的开关是否在既定的i步之中;

如果是既定的i步之中的开关,那么步数-1,如果按的是方案之外的开关,因为我们的最优策略是唯一的,所以我们需要再按一次来撤回这一次失误,所以转移大致是这样:
技术分享

这个貌似不能直接递推,

我们考虑将f[]数组差分,设g[i]=f[i]-f[i-1];

那么我们得出g数组的递推式:

技术分享

推到过程就是把f[i]用f的递推式表示,然后在把差值用g[i+1]表示之类的;

那么我们的答案为f[p]*n!,其中p为最小的操作步数;

//MADE BY QT666
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
const int mod=100003;
int a[N],n,k,p;
ll g[N];
ll qpow(ll x,ll y){
    ll ret=1;
    while(y){
	if(y&1) (ret*=x)%=mod;
	(x*=x)%=mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=n;i;i--){
	if(a[i]){
	    p++;
	    for(int j=1;j<=sqrt(i);j++){
		if(i%j==0){
		    if(j*j==i) a[j]^=1;
		    else a[j]^=1,a[i/j]^=1;
		}
	    }
	}
    }
    if(p<=k) {
	int ans=p;
	for(int i=1;i<=n;i++) (ans*=i)%=mod;
	cout<<ans<<endl;return 0;
    }
    g[n+1]=0;
    for(int i=n;i;i--) g[i]=(g[i+1]*(n-i)+n)*qpow(i,mod-2)%mod;
    int ans=k;
    for(int i=k+1;i<=p;i++) ans+=g[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) (ans*=i)%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

bzoj 4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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原文地址:http://www.cnblogs.com/qt666/p/7608691.html

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