标签：函数 log 去掉 hessian 计算 soft 变换 求导 应用
Softmax回归是Logistic回归在多分类问题上的推广，是有监督的。
回归的假设函数（hypothesis function）为
，我们将训练模型参数
，使其能够最小化代价函数：
在Softmax回归中，我们解决的是多分类问题，类标y可以取k个不同的值。对于给定的测试输入x，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值
。也就是说，我们想估计x的每一种分类结果的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个k维的向量（向量元素的和为1）来表示这k个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数形式如下：
其中
，
，···，
是模型参数。
这一项对概率分布进行归一化，使得所有的概率之和为1。
为了方便起见，我们同样使用符号
来表示全部的模型参数。在实现softmax回归时，将
用一个
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将
，
，···，
按行罗列起来得到的，如下表示：
代价函数
现在介绍softmax回归算法的代价函数。在下面的公式中，
是示性函数，其取值规则为：1{值为真的表达式}=1，1{值为假的表达式}=0。代价函数为：
上述公式是logistic回归代价函数的推广。可以看到，softmax代价函数与logistic代价函数在形式上非常类似，只是在softmax代价函数中对类标记的k个可能值进行了累加。注意在softmax回归中将x分类为类别j的概率为：
对于
的最小化问题，目前还没有闭式解决。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
有了上述偏导数公式后，我们就可以将它带入到梯度下降法等算法中，来最小化
。在实现softmax回归算法时，我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减（weight decay）一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
softmax回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量
中减去了向量
，这时，每一个
都变成了
。此时假设函数变成了
也就是说，从
中减去
完全不影响假设函数的预测结果。这表明前面的softmax回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说，softmax模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数 ，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数
。
进一步而言，如果参数
是代价函数的极小值点，那么
同样也是它的极小值点，其中
可以为任意向量。因此使最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是Hessian矩阵是奇异的/不可逆的，这会导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。）
注意，当
时，我们总是可以将
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量（或者其他中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的
个参数
（其中
），我们可以令
，只优化剩余的
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数，而不任意地将某一参数设置为0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决softmax回归的参数冗余所带来的数值问题。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Peyton-Li/p/7612517.html
