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大家说他是卡特兰数，其实也不为过，一开始只是用卡特兰数来推这道题，一直没有怼出来，后来发现其实卡特兰数只不过是一种组合数学，我们可以退一步直接用组合数学来解决，这道题运用组合数的思想主要用到补集与几何法。
假设以矩形左下角为坐标原点，（以下所说路径均满足只能向右或向上走），我们假设原矩阵为a，那么他关于l(y=x+1)，对称矩形就是b（黑色），那么出现了c矩阵，他的长为n+1，宽为m-1，易知从(0,0)到(n,m)（a右上角）的路径（在矩形a内）的种数就是C(n+m,m)，然后我告诉你从(0,0)到(m-1,n+1)（c右上角）的路径（在矩形c内）种数C(n+m,m-1)，就是原矩阵中不合法路径个数，你不信很正常.....
那么让我们想一下。从(0,0)到(n,m)的不合法路径（在矩形a内）一定满足若干次碰到了l与a围成的三角型的边界之一——l在a内部分，然后在最后一次碰到后离开并驶向(n,m)，从(0,0)到(m-1,n+1)的路径（在矩形c内）均满足若干次碰到了l与a围成的三角型，然后在最后一次碰到后离开并驶向(m-1,n+1)，再然后我们发现在“离开”之前的走法满足以上两种路径可以吻合，那么“离开“之后呢——他离开时一定最后与l交于一点，那么我们发现在l上的任意整点（在a内部分）与(n,m)和(m-1,n+1)分别作为两个对角点形成的矩形全等，于是从一角到另一角的方案一一对应，于是证毕。
#include <cstdio> #include <cstring> const int P=10000; struct Bigint{ int a[5000]; Bigint(){a[0]=a[1]=1;} inline friend Bigint operator - (Bigint a,Bigint b); inline friend Bigint operator * (Bigint a,int b); inline void operator -= (Bigint b){(*this)=(*this)-b;} inline void operator *= (int b){(*this)=(*this)*b;} inline void print(); }ans1,ans2; inline void Bigint:: print(){ printf("%d",a[a[0]]); for(int i=a[0]-1;i>0;--i) printf("%04d",a[i]); } inline Bigint operator - (Bigint a,Bigint b){ for(int i=1;i<=a.a[0];++i){ a.a[i]-=b.a[i]; if(a.a[i]<0) a.a[i]+=P,a.a[i+1]--; } while(a.a[a.a[0]]==0)a.a[0]--; return a; } inline Bigint operator * (Bigint a,int b){ int last=0; for(int i=1;i<=a.a[0];++i) a.a[i]=a.a[i]*b+last,last=a.a[i]/P,a.a[i]%=P; if(last)a.a[++a.a[0]]=last; return a; } int n,m; int prime[P+10],len,mini[P+10]; bool isnot[P+10]; inline void get_prime(){ for(int i=2;i<=P;++i){ if(isnot[i]==false)prime[++len]=i,mini[i]=len; for(int j=1;prime[j]*i<=P;++j){ isnot[prime[j]*i]=true,mini[prime[j]*i]=j; if(i%prime[j]==0)break; } } } int size[P]; int main(){ scanf("%d%d",&n,&m),get_prime(); for(int i=n+m,x;i>n;--i){ x=i; while(mini[x]) ++size[mini[x]],x/=prime[mini[x]]; } for(int i=1,x;i<=m;++i){ x=i; while(mini[x]) --size[mini[x]],x/=prime[mini[x]]; } for(int i=1;i<=len;++i) while(size[i]) ans1*=prime[i],--size[i]; for(int i=n+m,x;i>n+1;--i){ x=i; while(mini[x]) ++size[mini[x]],x/=prime[mini[x]]; } for(int i=1,x;i<m;++i){ x=i; while(mini[x]) --size[mini[x]],x/=prime[mini[x]]; } for(int i=1;i<=len;++i) while(size[i]) ans2*=prime[i],--size[i]; ans1-=ans2; ans1.print(); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/TSHugh/p/7617643.html
