leetcode: Continuous Subarray Sum

Given a list of non-negative numbers and a target integer k, write a function to check if the array has a continuous subarray of size at least 2 that sums up to the multiple of k, that is, sums up to n*k where n is also an integer.

Example 1:

Input: [23, 2, 4, 6, 7],  k=6
Output: True
Explanation: Because [2, 4] is a continuous subarray of size 2 and sums up to 6.

Example 2:

Input: [23, 2, 6, 4, 7],  k=6
Output: True
Explanation: Because [23, 2, 6, 4, 7] is an continuous subarray of size 5 and sums up to 42.

Note:

1. The length of the array won‘t exceed 10,000.
2. You may assume the sum of all the numbers is in the range of a signed 32-bit integer.

题意解读：该题题意是给定一个数组和一个整数k，求是否存在这样的一个连续的子数组，该子数组的所有数之和可以整除k。

思路分析：该题最直观的思路肯定是暴力求解法，即求出所有的连续子数组，并判断每个连续子数组的所有数之和是否能整除k，这种解法时间复杂度为指数级别，OJ肯定不通过，因此需要优化。如果刷题多的话，遇到这种求子数组或者子矩阵的和的问题，一般会想到要建立子数组或者子矩阵的累加和，本题也是采用这种思路。我们要遍历所有的子数组，然后利用累加和来快速求和。在得到每个子数组之和时，我们先和k比较，如果相同直接返回true，否则再判断，若k不为0，且sum能整除k，同样返回true，最后遍历结束返回false，参见代码如下：

class Solution {
public:
　　bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
　　　　for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
　　　　　　int sum = nums[i];
　　　　　　for (int j = i + 1; j < nums.size(); ++j) {
　　　　　　　　sum += nums[j];
　　　　　　　　if (sum == k) return true;
　　　　　　　　if (k != 0 && sum % k == 0) return true;
　　　　　　}
　　　　}
　　　　return false;
　　}
};

 下面的方法比较巧妙，利用了参考资料中提到的一个数学定理：若数a和b分别除以数c，若得到的余数相同，那么(a-b)必定能够整除c。根据这一定理，建立一个哈希表记录余数和当前位置的映射关系，如果累加到当前位置的累加和除以k得到的余数在哈希表中已经存在，说明前面必定存在一个连续子数组的和能够整除k。即nums[i,j]和nums[i,m]（注：m>j+1，因为题目要求连续子数组中的元素数目至少为2）都能被k整除，则nums[i,m] - nums[i,j] = nums[j+1,m]必定能被k整除。参考代码如下：

class Solution {
public:
　　bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
　　　　int n = nums.size(), sum = 0;
　　　　unordered_map<int, int> m{{0,-1}};
　　　　for (int i = 0; i < n; ++i) {
　　　　　　sum += nums[i];
　　　　　　int t = (k == 0) ? sum : (sum % k);
　　　　　　if (m.count(t)) {
　　　　　　　　if (i - m[t] > 1) return true;
　　　　　　} else m[t] = i;
　　　　}
　　　　return false;
　　}
};

参考资料：

http://www.cnblogs.com/grandyang/p/6504158.html