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如果在有向无环图中用有向边表示一个工程中的各项活动（Activity），用有向边上的权值表示活动的持续时间（duration），用顶点表示事件（Event），则这种有向图叫做用边表示活动的网络（activity on edges），简称AOE网络。例如：
其中，Ei表示事件，ak表示活动。E0是源点，E8是汇点。
完成整个工程所需的时间等于从源点到汇点的最长路径长度，即该路径中所有活动的持续时间之和最大。这条路径称为关键路径（critical path）。关键路径上所有活动都是关键活动。所谓关键活动（critical activity），是不按期完成会影响整个工程进度的活动。只要找到关键活动，就可以找到关键路径。
与计算关键活动有关的量：
1 事件Ei的最早可能开始时间：Ee[i]—从源点E0到顶点Ei的最长路径长度。在上图中，Ee[4]=7。
2 事件Ei的最迟允许开始时间：El(小写L)[i]—在保证汇点En-1最迟允许开始时间El[n-1]等于整个工程所需时间的前提下，等于El[n-1]减去从Ei到En-1的最长路径长度。
3 活动ak的最早可能开始时间：e[k]—设该活动在有向边<Ei，Ej>上，从源点E0到顶点Ei的最长路径长度，即等于Ee[i]。
4 活动ak的最迟允许开始时间：l(小写L)[k]—设该活动在有向边<Ei，Ej>上，在不会引起时间延误的前提下，允许的最迟开始时间。l[k]=El[j]-dur(<Ei，Ej>)，其中dur(<Ei，Ej>)是完成该活动所需的时间，即有向边<Ei，Ej>的权值。
l[k]-e[k]表示活动ak的最早可能开始时间和最迟允许开始时间的时间余量，也叫做松弛时间（slack time）。没有时间余量的活动是关键活动。
算法步骤：
1 输入顶点数和边数，再输入每条边的起点编号、终点编号和权值。根据边的信息，通过一维数组存储每个顶点的入度和出度，建立邻接表保存边。每个顶点的Ee[i]设为0，El[i]设为100000000（表示无限大）。
2 按拓扑排序遍历所有顶点，更新Ee[i]。如果拓扑排序循环次数小于顶点数n，则说明网络中存在有向环，不能继续求关键路径。更新Ee[i]的最大值（整个工程所需时间）。
3 把所有汇点的最迟允许开始时间设为整个工程所需时间，按逆拓扑排序遍历所有顶点，更新El[i]。
4 通过DFS遍历所有边<Ei，Ej>。如果l[k]等于e[k]，则说明该活动是关键活动。依次输出关键活动上的顶点后构成关键路径。
在上图中，关键路径是a1-a4-a7-a10或a1-a4-a8-a11，完成整个工程所需时间是18。
题目 PTA 数据结构与算法题目集（中文） 7-11 关键活动（30 分）
多源点和多汇点例子：
1 11 14 2 1 2 4 3 1 3 3 4 2 4 5 5 3 4 3 6 4 5 1 7 4 6 6 8 5 7 5 9 6 7 2 10 8 3 7 11 9 3 7 12 9 10 6 13 4 10 2 14 10 6 5 15 6 11 4
结果如下：
1 21 2 3->4 3 4->10 4 6->11 5 8->3 6 9->3 7 10->6
C++代码如下：
1 //#include "stdafx.h" 2 #include <iostream> 3 #include <vector> 4 #include <queue> 5 6 using namespace std; 7 8 struct node 9 { 10 int next, time; 11 }; 12 13 int degree[2][110], t[2][110], maxtime; 14 vector<node> v[2][110]; 15 16 int torder(int index, int n) 17 { 18 int i; 19 queue<int> q; 20 21 for(i = 1; i <= n; i++) 22 { 23 if(degree[index][i] == 0) 24 { 25 if(index == 1) 26 { 27 t[1][i] = maxtime; 28 } 29 30 q.push(i); 31 } 32 } 33 34 int cur, size, next, nexttime[2], curtime, count = 0; 35 while(q.size() > 0) 36 { 37 cur = q.front(); 38 q.pop(); 39 40 count++; 41 42 size = v[index][cur].size(); 43 for(i = 0; i < size; i++) 44 { 45 next = v[index][cur][i].next; 46 degree[index][next]--; 47 48 if(degree[index][next] == 0) 49 { 50 q.push(next); 51 } 52 53 curtime = t[index][cur]; 54 nexttime[0] = curtime + v[index][cur][i].time; 55 nexttime[1] = curtime - v[index][cur][i].time; 56 57 if(index == 0 && nexttime[0] > t[0][next]) 58 { 59 t[0][next] = nexttime[0]; 60 } 61 else if(index == 1 && nexttime[1] < t[1][next]) 62 { 63 t[1][next] = nexttime[1]; 64 } 65 } 66 67 if(index == 0 && t[0][cur] > maxtime) 68 { 69 maxtime = t[0][cur]; 70 } 71 } 72 73 if(count < n) 74 { 75 return 0; 76 } 77 78 return 1; 79 } 80 81 int main() 82 { 83 int n, m; 84 scanf("%d%d", &n, &m); 85 86 int i, a, b; 87 node nod; 88 89 for(i = 1; i <= m; i++) 90 { 91 scanf("%d%d%d", &a, &b, &nod.time); 92 93 nod.next = b; 94 v[0][a].push_back(nod); 95 96 nod.next = a; 97 v[1][b].push_back(nod); 98 99 degree[1][a]++; 100 degree[0][b]++; 101 } 102 103 for(i = 1; i <= n; i++) 104 { 105 t[0][i] = 0; 106 t[1][i] = 100000000; 107 } 108 109 for(i = 0; i <= 1; i++) 110 { 111 if(torder(i, n) == 0) 112 { 113 printf("0\n"); 114 return 0; 115 } 116 } 117 118 printf("%d\n", maxtime); 119 120 int size, j, next; 121 for(i = 1; i <= n; i++) 122 { 123 size = v[0][i].size(); 124 for(j = size - 1; j >= 0; j--) 125 { 126 next = v[0][i][j].next; 127 if(t[1][next] - t[0][i] == v[0][i][j].time) 128 { 129 printf("%d->%d\n", i, next); 130 } 131 } 132 } 133 134 system("pause"); 135 return 0; 136 }
参考资料
《图论算法理论、实现及应用》
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原文地址：http://www.cnblogs.com/WJQ2017/p/7625286.html
