标签：覆盖 second 根据 memory log 不包含 开始 arch art
（附一道例题）
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最小点覆盖是指在二分图中，用最小的点集覆盖所有的边。当然，一个二分图的最小点覆盖可能有很多种。
现在给定一个二分图，请你把图中的点分成三个集合：
如果在任何一种最小点覆盖中都不包含这个点，则认为该点属于N集合。
如果在任何一种最小点覆盖中都包含这个点，则认为该点属于A集合。
如果一个点既不属于N集合，又不属于A集合，则认为该点属于E集合。
第一行包含三个整数n, m, k，分别表示二分图A侧点的数量，二分图B侧点的数量，边的数量。
接下来k行，每行两个整数i, j，分别表示二分图A侧第i号点与二分图B侧第j号点有连边。
数据保证无重边。
第一行输出一个长度为n的字符串，其中第i个字符表示二分图A侧第i个点所属的集合。
第二行输出一个长度为m的字符串，其中第i个字符表示二分图B侧第i个点所属的集合。
| Sample Input | Sample Output |
|
11 9 22
|
AEEEEEENNNN EEEEEEANN |
对于10%的数据，$1 \leq n, m \leq 5$
对于40%的数据，$1 \leq n, m \leq 100$
对于100%的数据，$1 \leq n, m \leq 1000, 0 \leq k \leq n*m$
ORZ贴上Matrix67的博http://www.matrix67.com/blog/archives/116ORZ，这里证明了Konig定理，那我按着他的思路再述说一次。（我从这里才看懂的）。
以及一篇思路很清晰的博：http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html，里面直观地讲述了Hungary的本质，但主要还是看交错轨和增广路的概念即可。
Konig定理：最小点覆盖的点集合大小等于最大匹配数。
其中提到了最小点覆盖是如何找出的：
1.正常二分图匹配。
2.从右部找到未被匹配的点，走交错轨（先未匹配边后有匹配边，反复交错），将交错轨经过的点打上标记；
3.左部有标记的点和右部无标记的点构成了最小点覆盖集。
弄明白原理，这道题就很容易了。
ORZMatrix67，我们分三步证明：
我们的出发点总是右部未匹配的点。由于现在的图是最大匹配，交错轨一定是从右部出发，在右部结束，也就是结束时的边一定是匹配边（否则就满足增广路的性质，这张图就不是最大匹配了，矛盾）；从右往左走的一定是非匹配边，从左往右走的一定是匹配边。
贴张图（出于Matrix67的博）
发现：每条匹配边的某一端都是一个最小点覆盖集中的点。Why？
我们选择的点中：左半部分有标记的，那都是在走交错轨的时候通过匹配边从右往左走过来的，于是交错轨中经过的左部点与匹配边一一对应。
右半部分无标记的，代表没有交错轨经过，那是因为我们开始走的时候选的是未匹配点作为起点，且途中从左往右走的是匹配边，二者都没有这一个点的份。因此？因此它们是匹配点，也就是与匹配边一一对应。
得证这样选出的点总共只有m个。Get√
先选出的交错轨已经覆盖了一定数量的边；那么为什么选择右边无标记的点就可以覆盖剩下的边？
首先，交错轨中的边一定是两端都有标记的；不是两端都有标记的边不属于交错轨。
其次，左边无标记而右边有标记的边是不存在的：如果这是一条匹配边，那么右边的标记只能是从左边走来的，那么左边也应有标记；如果这是一条非匹配边，那么一定能从右边走到左边，左边也应该有标记。
那么，只剩下左无右无、左有右无两种边存在，发现右端都是“无”，那么我们选择右端未被标记的点，就可以覆盖剩下的全部边。
覆盖所有的匹配边就至少需要m个点，嗯还能再少吗......
证毕。
根据上面提到的选点的方式，选的是左边有标记的点与右边无标记的点。
出发时一定要选右部未匹配的点，也就是它们一定会打上标记。然而我们最终选的是右边无标记的点，所以右部未匹配的点一定不在最小覆盖集内---->N。
左部未匹配的点，意味着交错轨从未经过，也就是它们一定没有标记。我们选择的是左边有标记的点，所以左部未匹配的点一定不在最小覆盖集内---->N。
所以未匹配的点（暂且归为集合A）一定不在最小覆盖集中。
既然A不在，那么与它们相连的点（归为集合B）就必须在--->A，不然就无法覆盖到它们之间相连的边了。
那么B中的点，如果是匹配点，那么它的另一侧匹配点就不能在。当该点为左部点时，右边应该打上标记，不会被选；当该点为右部点的时候，它应该没有标记，属于选择的点的第二类点（右部无标记点），那么左边也就是另一侧匹配点就没必要选。
重复上面判断步骤，判断出A和N的存在，剩下的就是E。这一步可以用类似广搜的操作完成。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <queue> 4 #define mp make_pair 5 using namespace std; 6 typedef pair<int,int> pii; 7 const int N=1010; 8 int n,m,k,use[N*2],from[N*2],h[N*2],tot,col[N*2]; 9 struct Edge{int v,next;}g[N*N*2]; 10 queue<pii> q; 11 inline void addEdge(int u,int v){ 12 g[++tot].v=v; g[tot].next=h[u]; h[u]=tot; 13 } 14 bool Hungary(int u){ 15 for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next){ 16 if(!use[v=g[i].v]){ 17 use[v]=1; 18 if(!from[v]||Hungary(from[v])){ 19 from[v]=u; 20 return true; 21 } 22 } 23 } 24 return false; 25 } 26 int main(){ 27 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 28 for(int i=1,u,v;i<=k;i++){ 29 scanf("%d%d",&u,&v); 30 addEdge(u,v+n); addEdge(v+n,u); 31 } 32 for(int i=1;i<=n;i++){ 33 memset(use,0,sizeof use); 34 Hungary(i); 35 } 36 for(int i=1;i<=m;i++) 37 if(from[n+i]) 38 from[from[n+i]]=n+i; 39 for(int i=1;i<=n+m;i++) 40 if(!from[i]&&!col[i]){ 41 col[i]=1; 42 q.push(mp(i,2)); 43 } 44 int u,f; 45 pii s; 46 while(!q.empty()){ 47 s=q.front(); q.pop(); 48 u=s.first; f=s.second; 49 for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next) 50 if(!col[v=g[i].v]&&(col[u]==1)||(col[u]==2&&v==from[u])){ 51 col[v]=f; 52 q.push(mp(v,f==1?2:1)); 53 } 54 } 55 for(int i=1;i<=n;i++) 56 if(col[i]==1) putchar(‘N‘); 57 else if(col[i]==2) putchar(‘A‘); 58 else putchar(‘E‘); 59 puts(""); 60 for(int i=n+1;i<=n+m;i++) 61 if(col[i]==1) putchar(‘N‘); 62 else if(col[i]==2) putchar(‘A‘); 63 else putchar(‘E‘); 64 puts(""); 65 return 0; 66 }
【Learning】最小点覆盖（二分图匹配） 与Konig定理证明
标签：覆盖 second 根据 memory log 不包含 开始 arch art
原文地址：http://www.cnblogs.com/RogerDTZ/p/7625176.html
