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时间：2014-05-12 12:35:20 阅读：491 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

证明：由连续函数的最值定理知，存在$\xi \in \left[ {a,b} \right]$，使得

f (ξ) = m a x x \in [a, b] f (x) = M

$f\left( \xi \right){\rm{ = }}\mathop {max}\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right){\rm{ = }}M$

从而由$f\left( x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$知，$f\left( x \right)$在点$\xi $连续，则对任给$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意$x \in \left( {\xi - \delta ,\xi + \delta } \right) \cap \left[ {a,b} \right]$，有

| f (x) ? f (ξ) | < ε

$\left| {f\left( x \right) - f\left( \xi \right)} \right| < \varepsilon$

即有$f\left( x \right) > M - \varepsilon $，令${a_n} = \sqrt[n]{{\int_a^b {{f^n}\left( x \right)} dx}}$，从而可知

a n \geq (\int ξ + δ ξ ? δ (M ? ε) n d x) 1 n = (M ? ε) (2 δ) 1 n \to M ? ε (n \to \infty)

${a_n} \ge {\left( {\int_{\xi - \delta }^{\xi + \delta } {{{\left( {M - \varepsilon } \right)}^n}} dx} \right)^{\frac{1}{n}}} = \left( {M - \varepsilon } \right){\left( {2\delta } \right)^{\frac{1}{n}}} \to M - \varepsilon \left( {n \to \infty } \right)$ 而

a n \leq (\int b a M n d x) 1 n = M (b ? a) 1 n \to M (n \to \infty)

${a_n} \le {\left( {\int_a^b {{M^n}} dx} \right)^{\frac{1}{n}}} = M{\left( {b - a} \right)^{\frac{1}{n}}} \to M\left( {n \to \infty } \right)$ 所以有

M ? ε \leq lim ? ? ? n \to \infty a n \leq lim ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ n \to \infty a n \leq M

$M - \varepsilon \le \mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {a_n} \le \mathop {\overline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {a_n} \le M$ 令$\varepsilon \to 0$，则$\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\overline {\lim } }\limits_{n \to \infty } {a_n} = M$，从而命题得证

$\bf注1：$我们由$\bf{H\ddot older不等式}$可知${a_n} = \sqrt[n]{{\int_a^b {{f^n}\left( x \right)} dx}}$是单调递增的

$\bf注2：$我们同理可证

$\bf命题：$设正值函数$f\left( x \right),g\left( x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$，则

lim n \to \infty \int b a f n (x) g (x) d x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? \sqrt n = m a x x \in [a, b] f (x)

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\int_a^b {{f^n}\left( x \right)g\left( x \right)} dx}} = \mathop {max}\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right)$

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