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MT【101】分配问题举例若干

时间:2017-10-08 14:46:03      阅读:159      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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先拿MT【100】的图表镇楼。

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举几个例子:

【1】52张纸牌分发给4人,每人13张,问每人手中有一张小2的概率?

分析:第一步每人分一张小2,有4!种,然后48张牌平均分成4组有$\frac{48!}{12!12!12!12!}$易得概率为$4!\frac{48!(13!)^4}{52!(12!)^4}$大概为10.55%,有兴趣也可以算一下四张2都在某个人手里的概率。


【2】$(x+y+z+w)^5$的展开式有多少项?

分析:每一项都是5次方,相当于5个无区别的小球放入4个有标志的盒子里.每个盒子里放的球不加限制。也就是上表中第4种情况,有56种。$(x+y+z+w)^5$展开式如下:

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注:顺便讲一下$x^2y^2z^1w^0$前的系数计算公式为$\frac{5!}{2!2!1!0!}$可以类比二项式定理$(x+y)^5$展开中$x^2y^3$前的系数公式$\frac{5!}{2!3!}$。


【3】$x_1+x_2+\cdots+x_k\le n$的非负整数解的个数.

分析:定义如下映射$(x_1,x_2,\cdots,x_k)\mapsto (x_1+1,x_1+x_2+1,\cdots,x_1+\cdots+x_k+k)$是$x_1+x_2+\cdots+x_k\le n$的非负整数解集到$\{1,2,\cdots,n+k\}$中取$k$项严格单调递增数列集合的一个一一映射,有$\dbinom{k+n}{k}$

:这里可以得到一个恒等式:$\sum_{i=0}^{n}\dbinom{k+i-1}{i}=\dbinom{k+n}{n}$


【4】已知$b_1+2b_2+\cdots+nb_n=n$其中$b_1,b_2,\cdots,b_n\in N$,把$\{1,2,\cdots,n\}$的一个全排列放入以下框架中

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        问有多少种不同形式.

        答:$\frac{n!}{b_1!b_2!\cdots b_n!1^{b_1}2^{b_2}\cdots n^{b_n}}$即对称群$S_n$中$1^{b_1}2^{b_2}\cdots n^{b_n}$的元素个数。



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原文地址:http://www.cnblogs.com/mathstudy/p/7637303.html

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