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二元一次不定方程和最大公约数笔记

时间:2014-05-12 11:57:17      阅读:247      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:style   c   ext   a   line   算法   

 问题描述:

     1)求满足ax+by=gcd(a,b)的x,y整数解。

     2)形如ax+by=gcd(a,b)的二元一次不定方程有没有整数解

     3)如果有解,如何求解

     4)有多少个解,能否用一个公式来形式化描述所有解。

     5)用计算机求解

 

     求解22x+60y=gcd(22,60)=2;

     首先利用欧几里得算法求解gcd(22,60)。如下

     设a=60,b=22.

    a=60=2*22+16;  移项: 16=a-2*22=a-2b;

    b=22=1*16+6;   移项:  6=b-16=b-(a-2b)=3b-a;

    16=2*6+4;         移项:4=16-2*6=a-2b-2*(3b-a)=3a-8b;

     6=1*4+2;          移项:  2=6-1*4=3b-a-(3a-8b)=11b-4a;

     4=2*2+0;

    

     最终得到2=11b-4a=-4*60+11*20.因此x=11,y=-4。

     将x=11,y=-4代回原方程,验证结果是否正确:11*22+60*(-4)=242-240=2。结果正确。

 

    

   事实上,形如x=11+60k,y=-4-22k都是22x+60y的解。验证一下:

   22*(11+60k)+60(-4-22k)=242+22*60k-242-60*22k=2。

  因此,x=11+60k,y=-4-22k。确实是22x+60y=gcd(22,60)的解

   

 

接下来,很重要的一个问题就是,形如 x=11+60k,y=-4-22k的解是否涵盖22x+60y=2的所有解。

    

线性方程定理 :

  设a,b是一个非零整数,g=gcd(a,b)。方程ax+by=g.至少有一个解(x1,y1)。且其他解可由(x1+k*a/g,y1-k*b/g)得到。

 

  

算法描述

  Extended-euclid(a,b)

        if b=0

            return (a,1,0);

        (d1,x1,y1)=extended-euclid(b,a mod b)

        (d,x,y)=(d1,y1,x1-(a/b)y1)

        return (d,x,y)

 

参考资料:

   数论概论第6章

   算法导论第31章

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二元一次不定方程和最大公约数笔记

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原文地址:http://www.cnblogs.com/francisYoung/p/3720389.html

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