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小数延迟滤波器

时间:2017-10-11 00:59:32      阅读:388      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:play   方式   entry   dex   直接   pass   es2017   imp   分解   

作者:桂。

时间:2017-10-10  22:38:46

链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/7648274.html 


前言

阵列信号处理中,经常用到小数延迟(fractional delay,FD)的思路,例如Beamforming、GSC等等,本文摘录几个小数延迟的实现方式,不打算做系统性的梳理,具体可参考课件。

一、问题模型

给出用到的资料:

1)部分code:网盘code.

2)stanford课件,对应链接:https://ccrma.stanford.edu/~jos/Interpolation/

以均匀线阵为例:

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设麦克风阵列共用M个阵元,中心为参考点,阵元间距为d,信号入射角为θ,声音传播速度为c,则根据几何知识,第m(0≤m≤M-1)个阵元的时延为τm = (d/c) sinθ(m-(K-1)/2)。

麦克风采集的是数字信号,设采样周期为T,则对时域离散的信号来说,时延为D = τ/T。通常D不是一个整数,而对离散信号来说,整数时延才有意义。对于非整数D,可以分解为整数部分和分数部分D = ⌊D⌋ + d,式中,⌊D⌋为D的向下取整,0≤d<1。对于非零的分数部分d,此时信号实际值介于两个相邻采样点之间,即分数延迟。在实际处理中,可对d四舍五入取整,然后加上⌊D⌋,得到近似整数时延,但这种方法处理的结果不够精确。为了得到精确的结果,通常借助小数延迟的思路。

二、小数延迟滤波器

  A-一阶FIR设计

思路主要来自Taloy一阶近似:

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从而

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即:

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其中η为对应的小数延迟,滤波器架构(低通信号有效):

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  B-一阶IIR设计

此时对应的滤波器为全通滤波器(All pass),近似逼近

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滤波器响应:

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滤波器架构:

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对应时间延迟:

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   C-Sinc逼近

根据小数延迟滤波器的特性:

  • 幅度响应:全通
  • 相位响应:线性

得出滤波器:

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对于采样信号,需要限定在-fs/2 ~ fs/2之间,即相当于对滤波器进行了频域截断,截断的滤波器特性:

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求解该滤波器:

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容易证明该滤波器是原型滤波器均方误差最小的逼近。 

存疑如果不是[-pi pi],而是取[0 2*pi],即sin(2*pi*f0*t)其中f0为大于fs/2的信号,简单的逼近结果错误,延迟如何实现?

  D-Sinc加窗

由于C中滤波器存在截断,防止能量泄露的一个常用思路就是:加窗截断。

即:

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α < 1 provides for a nonzero transition band。

  E-拉格朗日插值

该思路主要是借助拉格朗日插值,近似得出小数延迟位置的数值。关于拉格朗日插值法的介绍有很多。

滤波器逼近:

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基于Taloy展开的性质:

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这一特性符合拉格朗日插值的思路,利用此思路:

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得出滤波器实现架构

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对应code:

function h = lagrange(N, delay)
%LAGRANGE h=lagrange(N,delay) returns order N FIR
% filter h which implements given delay
% (in samples). For best results,
% delay should be near N/2 +/- 1.
n = 0:N;
h = ones(1,N+1);
for k = 0:N
index = find(n ~= k);
h(index) = h(index) * (delay-k)./ (n(index)-k);
end

  不同插值个数对应的系数:

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  F-Farrow滤波器

该思路为多项式拟合,即将每一阶h看作是多项式拟合:

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滤波器可表述为:

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简化:

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α可存在RAM里,利用查找表直接调用,便可以实现快速的小数延迟。

其中,参数求解:

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对应实现架构:

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小数延迟滤波器

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原文地址:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/7648274.html

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