位运算

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　　位运算包括 "~" , "&" , "|" , "^" , "<<" , ">>" 。

　　"~"  的优先级比 "<<" , ">>" 高，"<<" , ">>" 的优先级比 "&" , "|" , "^" 高。

　　值得一提的是 "~" 运算，它对每个二进制位进行取反，即原本从左侧找第 $x$ 个，现在从右侧找第 $x$ 个。对于无符号整数，按照 $0, 1, 2, ..., 32767, 32768, ..., 65535$ 存储，~x 等于该类型的最大值与 $x$ 的差值。对于有符号整数，按照 $0, 1, 2, ..., 32767, -32768, -32767, ..., -2, -1$ 存储，~x 等于 $-x-1$ 。

　　如何交换两个数 $x, y$ ？

inline void Swap(int &x, int &y) {
        x = x + y;
        y = x - y;
        x = x - y;          
}

　　对于 $0$ 和 $1$ 的交换，可以用异或运算代替上面的加法运算和减法运算。

　　由于位运算具有位独立性，所以可以拓展到任意两个数的交换，即：

inline void Swap(int &x, int &y) {
        x ^= y ^= x ^= y;
}

　　注意上述代码在 $x$ 和 $y$ 的地址相同的时候是行不通的。

　　求 int 的最大值？

　　考虑对 0u 取反，得到 unsigned int 的最大值，然后再除去 $1$ 个位，即： ~0u>>1 。

　　判断 $x$ 的奇偶性？

　　二进制的最后一位非 $0$ ，即： x & 1 。

　　给定区间 $[l, r]$ ，求 $2 ^ l + 2 ^ {l+1} + ... + 2 ^ r$ ？

　　求 $2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^ {r-l} = 2 ^ {r-l+1} - 1$ ，然后平移 $l$ 位，即： ((1 << r-l+1) - 1) << l 。

　　把第 $k$ 位变成 $1$ ： x |= (1 << k-1) 。

　　把第 $k$ 位变成 $0$ ： x &= (1 << k-1) 。

　　把第 $k$ 位取反： x ^= (1 << k-1) 。

　　取第 $k$ 位： x >> k-1 & 1 。

　　取末 $k$ 位： x & ((1 << k) - 1) 。

　　取 $[l, r]$ 这些位： x & ((1 << r-l+1) - 1) << l 。

　　把区间 $[l, r]$ 变为 $0$ ： x &= ~(((1 << r-l+1) - 1) << l) 。

　　把区间 $[l, r]$ 变为 $1$ ： x |= ((1 << r-l+1) - 1) << l 。

　　把区间 $[l, r]$ 取反： x ^= ((1 << r-l+1) - 1) << l 。

　　把右边连续的 $1$ 变为 $0$ ：考虑把 $x$ 加 $1$ 之后，末尾的 $1$ 会变成 $0$ ，末尾的第 $1$ 个 $0$ 会变成 $1$ ，$x$ 与 $x+1$ 取交集之后，末尾的第 $1$ 个 $0$ 之后的位都为清零，即： x & x+1 。

　　把右边第 $1$ 个 $0$ 变为 $1$ ： x | x+1 。

　　把右边连续的 $0$ 变为 $1$ ：考虑把 $x$ 减 $1$ 之后，末尾的 $0$ 会变成 $1$ ，末尾的第 $1$ 个 $1$ 会变成 $0$ ，即： x & x-1 。

　　取右边连续的 $1$ ：加上 $1$ 后，最后的这些位都两两不同，异或为 $1$ ，个数为右边的 $1$ 的个数再多一位，所以： (x ^ x+1) >> 1 。

　　求最低位 lowbit ：想法是从右边开始逐位找，找到第 $1$ 个 $1$ 。

　　也就是说，二进制表示长这样：　　　　0101101100000　　　　-- （1）

　　对该数取反后，长这样：　　　　　　　1010010011111

　　取反后加 $1$ ，长这样：　　　　　　　   1010010100000　　　　-- （2）

　　比较（1）（2），比 lowbit 低的位置仍然是 $0$ ，lowbit 这位没有变，比 lowbit 高的位置取反，可知 lowbit 等于 x & (~x + 1) 。

　　由于 ~x = -x - 1 ，所以 ~x + 1 = x ，所以 lowbit 等于 x & -x 。

　　如何快速确定 int 范围内的正整数 $x$ 的二进制最低位是哪一位？

　　预处理 p[2 ^ i] = i ，i = 0, 1, ..., 16 

　　找到 $y$ 为 $x$ 的 lowbit ，若 $y < 2 ^ {16}$ ，那么直接查询 p[y] ，否则查询 p[y >> 16] + 16 。

位运算

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sdchr/p/7657169.html