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第二类斯特林数
第二类Stirling数：S2(p, k)
1.组合意义：第二类Stirling数计数的是把p个互异元素划分为k个非空集合的方法数
2.递推公式：
S2(0, 0) = 1
S2(p, 0) = 0 ( p >= 1) 显然p >= 1时这种方法不存在
S2(p, p) = 1 显然这时每个元素看为一个集合
S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1)
考虑将1，2，3，...，p划分为k个非空集合，考虑p
⑴将p单独划分为一个集合，此时的方案数等于将1，2，3，...，p -1划分为k - 1个非空集合的方案树，及S2(p - 1, k - 1)。
⑵将p和其他元素放一块，先考虑将1，2，3，..., p - 1划分为k个非空集合，此时p有k种放法，即k * S2(p - 1, k)。
故 S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1)
3.类pascal三角形：如二项式那样，可以构造这些Stiring数S2(p, k)的类pascal三角形。
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0 |
1 |
2 |
3 |
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6 |
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1 |
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0 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
3 |
1 |
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0 |
1 |
7 |
6 |
1 |
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0 |
1 |
15 |
25 |
10 |
1 |
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| 6 |
0 |
1 |
31 |
90 |
65 |
15 |
1 |
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| ... |
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4.通项公式：
先把这k个集合看为互异的，则可以通过容斥原理计算将p个元素放入k个互异集合的个数，再除以k！即可(公式不好打。。。)
bell数：
1.组合意义：将p个元素划分为若干集合的方法数。
2.B(p) = S2(p, 0) + S2(p, 1) + S2(p, 2) + ... + S2(p, p)
集合数显然不能超过p，故bell数即为Stirling数求和
3.递推公式：其中C(n, m)表示n元集中m元子集的个数
B(p) = C(p - 1, 0) * B(0) + C(p - 1, 1) * B(1) + ... + C(p - 1, p - 1) * B(p - 1)
把集合{1, 2, 3, 4, ..., p}划分为若干集合的方法数，考虑元素p
若令p所在集合有p - k个元素，则剩下的元素为k个，在p - 1个元素中选k个，故此时有C(p - 1, k) * B(k) 个方案，求和即可
第一类Stirling数为把p个元素划分为k个非空循环排列的方案数。
S1(p, k) = (p - 1) * S1(p - 1, k) + S1(p - 1, k - 1)
//没有代码
第二类Stirling数
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原文地址：http://www.cnblogs.com/tempestT/p/7658845.html
