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问题：求一个字符串的最长回文子串的长度

 http://hihocoder.com/problemset/problem/1032

1.Brute Force

枚举子串（枚举起点和终点），再判断子串是否回文串。时间复杂度O(n^3)

2.稍优的算法

枚举子串的中点，从中点向两侧扩展判断回文串。时间复杂度O(n^2)

3.Manacher算法

在前一种算法的基础上再加以改进，达到O(n)的时间复杂度

（1）处理偶数长度的子串

首先考虑一个问题：长度为奇数的字符串的中心是中间那个字符的位置，而长度为偶数的字符串的中心是中间两个字符串之间的“缝隙”。枚举偶数长度的回文子串的中点，似乎不好处理（如何能枚举一个“缝隙”的位置呢？）。

既然这样，设法做一种预处理，在原字符串s的间隙插入特殊字符，例如‘#‘（包括首尾），得到新字符串t

　　例如：

　　s:    abcda

　　t:     #a#b#c#d#a#

这样，枚举到‘#‘就表示枚举到偶数长度的子串的中点了

（2）辅助变量

回文半径：回文串最右字符与回文中心字符的距离。以t[i]为中心的回文子串t[l,r]，其回文半径为r-i+1

　　例如：aba的回文半径为2

辅助数组len：len[i]表示字符串t中以第i个字符为中心的回文子串的回文半径

　　可知len[i]-1就是该回文子串在原字符串s中的长度

　　证明：

　　首先，在字符串t中，该回文子串长度是2*len[i]-1，且以#开头且以#结尾；不妨先“去掉”开头或结尾的一个#，剩下的部分长度是2*len[i]-2，其中一半是原串s中的字符，一半是#，所以该子串在原串s中的长度就是len[i]-1

辅助变量pos和maxRight：maxRight是当前已知的所有回文子串的右端点能延伸到的最大值，取得这个最大值的回文串的中点是pos

（3）计算len数组

从左往右依次计算len[i]，设j是i关于pos的对称点，有(j+i)/2 = pos，j = 2*pos - i（j<i，故len[j]是已知的）

讨论i的位置与maxRight的相对关系：

　　当i<=maxRight：

　　考虑len[j]，若len[j] <= maxRight-i+1，则len[i] = len[j]；否则len[i]的最小值是maxRight-i+1（从maxRight+1开始向右还可能再延伸以t[i]为中心的回文串长度）

　　当i>maxRight：

　　此时len[i]无法如前所述地利用之前已经求得的信息了，故只能从t[i]像左右扩展寻找最长回文长度

（4）时间复杂度分析

maxRight只会一直向右推移，i>maxRight时，对于一个字符t[i]，它影响maxRight，使maxRight向右推移，此时我们进行了回文串的左右匹配过程；但是当i<maxRight时，就能直接利用之前以求得的信息，[0,maxRight]范围内的字符都暂时不再需要参与匹配了。所以字符串t中的每一个字符（作为右端字符）只会参与一次匹配，故时间复杂度为O(n)。（考虑某字符可能先被作为某子串的右端字符参与匹配，之后又作为另一子串的左端字符参与匹配，那么每个字符也最多只参与2次匹配，这仍然是线性的）

4.代码实现

 1 int Manacher(string &s)
 2 {
 3     string t="#";
 4     for(int i = 0; i < s.size(); ++i)
 5         t += s[i], t += ‘#‘;
 6 
 7     int len[t.size()];
 8     int maxLen = 0;
 9     int pos = 0, maxRight = 0;
10     for(int i = 0; i < t.size(); ++i)
11     {
12         len[i] = i<=maxRight? min(len[2*pos-i], maxRight-i+1) : 1;
13         while(i-len[i]>=0 && i+len[i]<t.size() && t[i-len[i]]==t[i+len[i]])
14             ++len[i];
15         if(i+len[i] > maxRight)
16             pos = i, maxRight = i+len[i]-1;
17         maxLen=max(maxLen, len[i]-1);
18     }
19     return maxLen;
20 }

Manacher Algorithm

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原文地址：http://www.cnblogs.com/junjie_x/p/7668714.html