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新知识添加·欧拉回路+欧拉路径

时间:2017-10-20 14:11:42      阅读:185      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:dfs   判断   证明   bsp   连通   欧拉   没有   算法   图论   

§概念

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的通路;

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的回路;

欧拉环:图中经过每条边一次且仅一次的环;

欧拉路径:图中经过每条边一次且仅一次的路径;

欧拉图:有至少一个欧拉环的图;

半欧拉图:没有欧拉环,但有至少一条欧拉路径的图;

基图:对一个图而言把所有边视作无向边得到其基图,即将所有有向边变成无向边形成的无向图。

 

无向图

  设G是连通无向图,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路

 如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个顶点),则称此回路是欧拉回路

  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

 

有向图

(1)设D是有向图,D的基图连通,则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路

(2)如果有向欧拉通路是有向回路,则称此有向回路为  有向欧拉回路

(3)具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

 

 

定理

 无向图G存在欧拉通路的充要条件是:G为连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的顶点)或者无奇度结点。

推论

(1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时,G的欧拉通路必以此两个结点为端点;

(2)当G是无奇度结点的连通图时,G必有欧拉回路

(3)G为欧拉图(存在欧拉回路)的充分必要条件是  G为无奇度结点的连通图

 

(有向图) 定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是:D为有向图,D的基图连通,并且所有顶点的出度与入度相等;或者  除两个顶点外,其余顶点的出度与入度都相等,而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1,另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

(1)当D除出、入度之差为1,-1的两个顶点之外,其余顶点的出度与入度相等时,D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点,以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

(2)当D的所有顶点的出、入度都相等时,D中存在有向欧拉回路。

(3)有向图D为有向欧拉图的充要条件是  D的基图为连通图,并且所有顶点的出、入度都相等。

 

 

欧拉回路的求解

两种方法:(1)DFS搜索  (Fleury)佛罗莱算法

(1)DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为:利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后,选择一个正确的起始顶点,用DFS算法遍历所有的边(每条边只遍历一次),遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

(2) (Fleury)佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图,求G中一条欧拉回路的算法如下:

(1) 任取G中一顶点v0,令P0=v0;

(2)假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi,按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

        ei+1与vi相关联

        除非无别的边可供选择,否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

(3)当(2)不能再进行时算法停止。

        可以证明的是,当算法停止时,所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm,(vm=v0)为G中一条欧拉回路。

 

 

加一道简单题  洛谷-1341(详情见图论杂题专题)

 

2017-10-20 13:57:14 Hathaway

 

新知识添加·欧拉回路+欧拉路径

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Hathawaxy/p/7699171.html

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