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数论

标签（空格分隔）： 数论 @zhshh 听课笔记

2017-10-17

欧拉函数

1.求phi
8407 12844

int phi(int n){
	int ans=n;
//	int num=n;//num用来标记flag的总数【详见下面POJ2773】
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){
			ans-=ans/i;
			while(n%i==0){
				n/=i;
			}
			/*    int m=1;
                while(m*j<=n){
                    flag[m*j]=true;
                }
            */
		}
	}
	if(n!=1)ans-=ans/n;
	return ans;
}

POJ2773

输入n,k求与n不互质的第k大整数

设数a,n若a,n不互质，即存在m是a,n因子，则m是a,n,n+a因子
同理若互质,n=k1m,a=k2m+b，则n+a=(k1+k2)*m+b;
因此1..n n+1..2n ....是否互质是循环的
在1..n内在去求第k % φ(n)个数即可
（用筛的方式（n的质因子）？）
后面两步还可以合并到了前面求phi时添加如下代码

int m=1;
while(m*j<=n){
    flag[m*j]=true;
}

POJ3090

Visible Lattice Points

输入边长n，输出从（0，0）可以看到的所有点
ＩＮ:4 2 4 5 231（空格是换行符）
ＯＵＴ:1 2 5 13 21 32549

样例：

快速幂及其变形

快速幂
快速乘
快速幂/乘取模
矩阵快速幂(矩阵的处理如果定义结构体matrix并且重载了*和*=，代码与快速幂一样)

01矩阵快速幂
这些的思想一样，都是把func(type a,指数 b,int mod)的指数b位运算，达到log的速度，而其中的乘法/加法还是朴素算法。
加速是在幂（快速乘的乘）时进行的

快速幂

long long poww(int a,int b){
	long long ans=1,base=a;
	if(a==0)return 0;
	while(b){
		if(b&1!=0){
			ans*=base;
		}
		base*=base;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
//这里的乘法是朴素乘法，快速是应用到了b的运算上

快速乘

long long mul(int a,int b){
	long long ans=0,base=a;//加法ans初始值为0
	if(a==0)return 0;
	while(b){
		if(b&1!=0){
			ans+=base;//这步改成了加法
		}
		base+=base;//同上改成加法
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

快速幂取模

最保险的方法是取模4次，不过在确定不会溢出的时候可以减少（提高速度）

long long poww_mod1(int a,int b,int c){
	long long ans=1,base=a%c;
	if(a==0)return 0;
	while(b){
		if(b&1!=0){
			ans=(ans*base)%c;
		}
		base=(base*base)%c;
		b>>=1;
	}
	return ans%c;
}

只有一个取模的写法,比如洛谷P1226 取余+快速幂 答案会溢出，AC前两个，WA后面4个

long long poww_mod2(int a,int b,int c){
	long long ans=1,base=a;
	if(a==0)return 0;
	while(b){
		if(b&1!=0){
			ans=(ans*base)%c;
		}
		base=base*base;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

矩阵

定义：

#define n 5

struct matrix {
	int x[n+1][n+1];
	matrix() {
		memset(x,0,sizeof(x));
	}
	void fill(int q) {
		int maxx=sizeof(x)/sizeof(int);
		int* p=&x[0][0];
		while(maxx>0) {
			*p=q;
			p++;
			maxx--;
		}
	}
};

写成了struct主要是为了方便重载运算符，以及各种初始化等，但是注意如果直接开很大的数组，会爆栈（例如上例#define n 1005之后运行，程序立马崩溃）
矩阵的处理如果定义结构体matrix并且重载了*和*=，代码与快速幂一样

乘法

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
	matrix ans;
	ans.fill(0);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			for(int k=1; k<=n; k++) {
				ans.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
			}
		}
	}
	return ans;
}

快速乘

同余

因为x=x0*c/gcd ，所以整数解充要条件是c mod gcd==0

扩展欧几里得

#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
	x=1;
	y=0;
	return a;}//上面部分与gcd类似，后面根据上面证明可得x,y与x‘,y‘递推公式，不断回溯
	int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x;
	x=y;
	y=temp-a/b*y;
	return ret;
}
int main(){
	int x,y;
	int a=15;
	int b=12;
	int gcd=exgcd(a,b,x,y);//gcd为最大公约数
	int c=63;
	cout<<gcd;
	if(c % gcd==0)cout<<endl<<"have int root";//因为方程的求解
	cout<<endl<<x*c/gcd<<endl<<y*c/gcd;
	cout<<endl<<b<<endl<<gcd;
	int t=b/gcd;
	cout<<endl<<x%t;
	cout<<endl<<(x%t+t)%t;
}

void exgcd(a,b,&x,&y){
    if( b==0)x=1,y=0;
    else
    ss(b,a%b,y,x),y-=x*(a/b)
}

shuashua树上差分

ZHxxxxxxx

快速幂以及相关内容

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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhshh/p/7699312.html