【dp】背包问题

01背包

呐，为什么叫它01背包呢，因为装进去就是1，不装进去就是0.所以针对每个物品就两种状态，装，不装（请允许我用这么老套的开篇，相信听过很多次背包讲解的人，大多都是这个开篇的）所以咯，我这个背包啊，只要有足够大的空间，这个物品是有可能被装进去的咯。
所以有状态转移方程
dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )
然后二维数组的代码写法分分钟就出来了，反正都是跟前一个状态去转移，也没有什么写法上的限制。

代码

并不优化

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[1005][1005];  
int weight[1005];  
int value[1005];  
int main()  
{  
    int n,m;  
    cin>>m>>n;  
    memset(dp,0,sizeof(dp));//数组清空,其实同时就把边界给做了清理  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    //从1开始有讲究的因为涉及到dp[i-1][j],从0开始会越界  
    for(int i=1; i<=n; i++)//判断每个物品能否放进  
    {  
        for(int j=0; j<=m; j++)//对每个状态进行判断  
        //这边两重for都可以倒着写，只是需要处理最边界的情况，滚动数组不一样  
        {  
            if(j>=weight[i])//能放进  
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);  

            else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放进  
        }  
    }  
    cout<<dp[n][m]<<endl;  
    return 0;  
}

因为很容易超内存

用滚动数组优化

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间
int weight[1005];  
int value[1005];  
int main()  
{  
    int n,m;  
    cin>>m>>n;  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        cin>>weight[i]>>value[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++){  //对每个数判断，可反  
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)  {//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包  
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解，一层一层的  
        }  
    }  
    cout<<dp[m]<<endl;  
    return 0;  
}

完全背包

就像先前讲的，完全背包是每个物品都无限，那么我只要对着一个性价比最高的物品狂选就是了啊。？？
是吗？有瑕疵啊！
反例一批一批的啊，认死了选性价比最高的，不一定是完全填满背包的啊，万一最后一个是刚好填满背包的，而且价格凑起来刚好比全选性价比最高的物品高的情况比比皆是啊。
啊？什么，特判最后一个状态？
你在搞笑吗|||- -，那我再往前推到倒数第二件，第三件咋办。总不能对每个物品都特判吧。
所以正解就是动态规划。状态转移方程如下：
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) ( 0<=k*weight[i]<=m)

代码

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[100005];//m  
struct Node{  
    int a,b;  
}node[1005];//n  

int main(){  
    int n;  
    while(~scanf("%d",&n)){  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            scanf("%d%d",&node[i].a,&node[i].b);  
        }  
        int m;  
        scanf("%d",&m);  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//这样就是完全背包  
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);  
            }  
        }  
        printf("%d\n",dp[m]);  
    }  
    return 0;  
}

多重背包

理解了前面两种背包，那么第三种背包理解起来就毫不费力了
首先这种可以把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么！！是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。
那只是一种理解方法，其实正规的应该是这样的
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k<=num[i]（这个跟完全背包差点就一毛一样了）
那么还是用滚动数组来写，而且还又优化了下

代码

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
const int N = 1005;  

int dp[N];  
int c[N],w[N],num[N];  
int n,m;  

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数  
{  
    for(int i=n; i>=cost; i--)  
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
}  

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数  
{  
    for(int i=cost; i<=n; i++)  
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);  
}  

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包  
{  
    memset(dp,0,sizeof(dp));  
    for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品  
    {  
        if(num[i]*c[i] > m)  
            Complete_Pack(c[i],w[i],m);  
            //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的  
            //因为是取不光的。那么就用完全背包去套  
        else  
        {  
            int k = 1;  
            //取得光的话，去遍历每种取法  
            //这里用到是二进制思想，降低了复杂度  
            //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品  
            //这样足够凑出了从0-k个该物品取法  
            //把复杂度从k变成了logk  
            //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法  
            while(k < num[i])  
            {  
                ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);  
                num[i] -= k;  
                k <<= 1;  
            }  
            ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);  
        }  
    }  
    return dp[m];  
}  

int main()  
{  
    int t;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        cin>>m>>n;  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];  
        cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;  
    }  
    return 0;  
}

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