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微积分第一基本定理

　　如果F’(x) = f(x)，那么：

　　如果将F用不定积分表示，F =∫f(x)dx，微积分第一基本定理可以看作为是两个不定积分赋予特定的值，再用符号连接起来，计算具体的数值。

　　这里引入一个新符号：

　　于是：

示例1

示例2

示例3

　　f(x) = sinx，求下图阴影部分的面积

　　这实际上是积分的几何意义。

再看积分的几何意义

　　如果s = S(t)是距离关于时间的函数，那瞬时速度就是S’(t) = ds/dt = V(t)，从时间a到时间b所经过的距离是：

　　dt = 1秒，用黎曼和表示：

　　V(t)就是汽车仪表盘上的速度，  就是行驶的里程。

　　如果行驶一段时间后掉头，再回到出发点，按照黎曼和表示法将会出现相反的速度，最后的结果是0。这样看来，  表示的就是位移而不是行驶里程，其里程应当是  

　　再来看一个例子，曲线是sinx，0 ≤ x ≤ 2π，求曲线和x轴间两个驼峰的面积。

　　这肯定不对了，原因是上篇文章提到的概念：“ 是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积”并不完全正确。当曲线在x轴上方是，定积分才是面积；在下方是，面积（积分值）是负的。之前的几何解释是不完全的，它掩盖了某些事实，关于定积分真正的几何解释是：定积分是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

定积分的性质

定积分的换元法

　　变量替换是定积分的另一个性质，这个性质结合了不定积分的换元法（关于换元法的描述：数学笔记11——微分和不定积分）。定积分换元法性质：

　　这个性质仅在u’在积分限上不变号时才有效，即u’(x)和u(x)在[x₁, x₂]上必须同号。

示例1

示例2

　　这是正确答案。如果使用换元法：

　　答案是错误的，其违反了定积分换元法的约束条件，u = x², u’ = 2x，当x = -1时，u’ = -2，当x = 1时， u‘ = 2, u’不同号。对于此例，du = 2xdx实际上应该是 dx =± u^-1/2du/2

综合示例

示例1

　　第二个式子也可以用上述方法计算，但是可以使用更简单的方法直接得到答案。

　　如上图所示，tanx 在[-π/3, π/3]上是关于原点对称的，根据定积分的几何意义，x轴上方的面积减去x轴下方的面积，故可以直接得出答案0。

　　注：

示例2

总结

　　1.定积分第一基本定理：如果F’(x) = f(x)，那么：

　　2.定积分的几何意义是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

　　3.定积分的性质：

　　4.定积分换元法

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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数学笔记14——微积分第一基本定理

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原文地址：http://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/7718266.html