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Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum. For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4], the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.
思想难度:99,操作难度:50。思想大于行动的一项有力证明。这是一道非常经典的动态规划的题目,用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用,以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。差不多的DP问题参见:Jump Game, Jump Game II
基本思路是这样的,在每一步,我们维护两个变量,一个是全局最优,就是到当前元素为止最优的解是,一个是局部最优,就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式(这是动态规划最重要的步骤,递归式出来了,基本上代码框架也就出来了)。假设我们已知第i步的global[i](全局最优)和local[i](局部最优),那么第i+1步的表达式是:
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i]),就是局部最优是一定要包含当前元素,所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i](因为local[i]一定包含第i个元素,所以不违反条件),但是如果local[i]是负的,那么加上他就不如不需要的,所以不然就是直接用A[i];
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i]),有了当前一步的局部最优,那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优(所有情况都会被涵盖进来,因为最优的解如果不包含当前元素,那么前面会被维护在全局最优里面,如果包含当前元素,那么就是这个局部最优)。
接下来我们分析一下复杂度,时间上只需要扫描一次数组,所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果,所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果,不需要是一个数组,也就是如程序中实现的那样,所以空间复杂度是两个变量(local和global),即O(2)=O(1)
1 public class Solution { 2 public int maxSubArray(int[] A) { 3 if (A.length == 0 || A == null) return 0; 4 int GlobalLarge = A[0]; 5 int CurrLarge = A[0]; 6 for (int i=1; i<A.length; i++) { 7 CurrLarge = Math.max(A[i], CurrLarge+A[i]); 8 GlobalLarge = Math.max(CurrLarge, GlobalLarge); 9 } 10 return GlobalLarge; 11 } 12 }
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原文地址:http://www.cnblogs.com/EdwardLiu/p/3968234.html