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最小瓶颈路问题是指在一张无向图中，询问一个点对$(u,v)$，需要找出从$u$到$v$的一条简单路径，使路径上所有边中最大值最小。
根据查询次数不同，最小瓶颈路问题可分为单次查询和多次查询。
根据“最大值最小”，不难想到二分答案。
答案肯定处于所有边中最小值和最大值之间，因此我们二分答案，$check$的时候以二分值为基准进行$BFS$，不经过权值大于二分值的边，如果能搜到终点，则说明二分值过大；如果不能搜到终点，则说明二分值过小。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=1e4+10,maxm=4e4+10,inf=0x7fffffff; 4 int heade[maxn],ev[maxm],ew[maxm],nexte[maxm]; 5 int isvis[maxn]; 6 int n,m,s,t,tot=0,mid; 7 void add_edge(int u,int v,int w){tot++;ev[tot]=v;ew[tot]=w;nexte[tot]=heade[u];heade[u]=tot;} 8 bool dfs(int ui) 9 { 10 int i,vi,wi;bool flag=false; 11 isvis[ui]=1;if(ui==t){return true;} 12 for(i=heade[ui];~i;i=nexte[i]) 13 { 14 vi=ev[i];wi=ew[i]; 15 if(isvis[vi]||wi>mid){continue;} 16 flag|=dfs(vi); 17 } 18 return flag; 19 } 20 int main() 21 { 22 int i,j,u,v,w,l,r,ans; 23 cin>>n>>m>>s>>t;l=inf;r=-inf; 24 memset(heade,-1,sizeof(heade)); 25 for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);l=min(l,w);r=max(r,w);add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);} 26 while(l<=r) 27 { 28 mid=(l+r)>>1;memset(isvis,0,sizeof(isvis)); 29 if(dfs(s)){ans=mid;r=mid-1;} 30 else{l=mid+1;} 31 } 32 cout<<ans; 33 return 0; 34 }
利用$Kruskal$的过程。将所有边升序排序，逐一枚举每条边尝试将边两端的点所在集合进行合并，如果合并之后$u$和$v$在同一个集合中，则说明此时$u$到$v$连通。由于边的枚举是由小到大，因此可以保证最后一次合并的边的权值就是答案。
无
给定一张带权无向图，每次询问两个点，找出两点间的一条简单路径，使路径中权值最大的边权值最小。
输入格式：
第一行为三个数字$n,m,q$，分别表示无向图节点数，边数和询问次数。
第二行至第$m+1$行为三个数字$u,v,w$，表示一条边。
第$m+2$行至第$m+q+1$行为两个数字$u,v$，表示一次询问。
输出格式：
共$q$行，每行一个数字，表示询问结果。
4 8 4 2 1 6 2 2 4 3 2 6 1 4 5 4 4 2 2 4 6 3 4 10 1 2 9 4 1 3 1 3 4 1 4
5 6 6 5
对于30%的数据，$n,q\leq 500$。
对于60%的数据，$n,q\leq 2\times 10^3,m\leq 10^5$。
对于100%的数据，$n,q\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5$。
注意判断自环和重边。
根据单次查询中的题解二，可以证明该无向图最小生成树中u到v的路径一定是u到v的最小瓶颈路之一（因为最小瓶颈路很可能有多条）。因此，对这张无向图预先进行$MST$，然后就变成了对于每个询问$(u,v)$，回答$u$到$v$的路径上的权值最大值。这个可以用倍增$LCA$解决。
具体思路是在$ST$表预处理时，维护一个从该节点到其$k$级父亲中经过的所有边的最大权值。在查询中仍然将$u$和$v$往上跳，同时维护路径中最大值，到其$LCA$结束。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=1e5+10,maxm=2e5+10,maxj=17,inf=0x7fffffff; 4 struct edge{int u,v,w;}e[maxm]; 5 int heade[maxn],ev[maxm],ew[maxm],nexte[maxm]; 6 int father[maxn],dep[maxn]; 7 int fa[maxn][maxj],maxv[maxn][maxj]; 8 int n,m,q,root,tot=0,num=0; 9 void add_edge(int u,int v,int w){tot++;ev[tot]=v;ew[tot]=w;nexte[tot]=heade[u];heade[u]=tot;} 10 int cmp(edge a,edge b){return a.w<b.w;} 11 int find(int x){return father[x]<0?x:father[x]=find(father[x]);} 12 void union_set(int u,int v,int w) 13 { 14 int x=find(u),y=find(v); 15 if(x==y){return;} 16 if(-father[x]>-father[y]){father[x]+=father[y];father[y]=x;} 17 else{father[y]+=father[x];father[x]=y;} 18 add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w); 19 num++; 20 } 21 void dfs(int ui) 22 { 23 int i,vi,wi; 24 for(i=heade[ui];~i;i=nexte[i]) 25 { 26 vi=ev[i];wi=ew[i];if(vi==fa[ui][0]){continue;} 27 fa[vi][0]=ui;maxv[vi][0]=wi;dep[vi]=dep[ui]+1; 28 dfs(vi); 29 } 30 } 31 void init() 32 { 33 int i,j; 34 for(j=1;(1<<j)<=n;j++){for(i=1;i<=n;i++){if(fa[i][j-1]){fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];maxv[i][j]=max(maxv[i][j-1],maxv[fa[i][j-1]][j-1]);}}} 35 } 36 int query(int u,int v) 37 { 38 int i,j,t,tmp=-inf; 39 if(dep[u]<dep[v]){swap(u,v);} 40 t=(int)(log(dep[u])/log(2)); 41 for(j=t;j>=0;j--){if(dep[u]-(1<<j)>=dep[v]){tmp=max(tmp,maxv[u][j]);u=fa[u][j];}} 42 if(u==v){return tmp;} 43 for(j=t;j>=0;j--){if(fa[u][j]&&fa[u][j]!=fa[v][j]){tmp=max(tmp,max(maxv[u][j],maxv[v][j]));u=fa[u][j];v=fa[v][j];}} 44 return max(tmp,max(maxv[u][0],maxv[v][0])); 45 } 46 int main() 47 { 48 int i,j,u,v,w; 49 //freopen("data.in","r",stdin); 50 //freopen("test.out","w",stdout); 51 cin>>n>>m>>q;root=(1+n)>>1; 52 memset(heade,-1,sizeof(heade));memset(father,-1,sizeof(father)); 53 for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);} 54 sort(e+1,e+m+1,cmp); 55 for(i=1;i<=m;i++){u=e[i].u;v=e[i].v;w=e[i].w;union_set(u,v,w);if(num>=n-1){break;}} 56 dfs(root);init(); 57 for(i=1;i<=q;i++) 58 { 59 scanf("%d%d",&u,&v); 60 printf("%d\n",query(u,v)); 61 } 62 return 0; 63 }
最小瓶颈路应用：次小生成树
具体问题是给定一张无向图，求出一棵生成树，其所有边的权值之和仅次于最小生成树的权值之和（如果有多个最小生成树的话次小生成树就是最小生成树）。
思路：
先求出这个图的$MST$，然后枚举所有不在$MST$中的边，尝试将其加入$MST$中，这样势必会构成一个环。于是我们需要在这个环中任意断开一条边（除了刚刚加入的边），使其依然成为一棵树。为了尽量使权值之和最小，我们需要断开树上加入的边的两端点之间权值最大的边，这样就将该问题化归到了最小瓶颈路问题。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/XSC637/p/7663056.html
