BZOJ 1096--仓库建设(斜率优化DP)

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Solution

　　　　设： P [ i ] 为前 i 个仓库的数量总和，D [ i ] 为前 i 个仓库的 P [ i ] * X [ i ] 总和。(我也不知道怎么描述，只是计算用到。。。)

　　　　显然有状态转移方程： f [ i ] = min ( f [ j ] + C [ i ] + ( P [ i ] - P [ j ] ) * X [ i ] - D [ i ] + D [ j ] ) j < i

　　　　f [ j ] + C [ i ] + ( P [ i ] - P [ j ] ) * X [ i ] - D [ i ] + D [ j ] < f [ k ] + C [ i ] + ( P [ i ] - P [ k ] ) * X [ i ] - D [ i ] + D [ k ]

　　　　得到斜率式： ( f [ j ] - f [ k ] + D [ j ] -D [ k ] ) / ( P [ j ] - P [ k ] ) < X [ i ]

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<iostream> #define LL long long #define N 1000050 using namespace std; inline int Read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} return x*f; } int n; int q[N]; LL X[N],P[N],C[N],D[N],f[N]; double slope(int j,int k){ return (double)(f[j]-f[k]+D[j]-D[k])/(double)(P[j]-P[k]); } int main(){ n=Read(); for(int i=1;i<=n;i++){ X[i]=(LL)Read();P[i]=(LL)Read();C[i]=(LL)Read(); D[i]=X[i]*P[i]+D[i-1]; P[i]=P[i]+P[i-1]; } int l=1,r=1; for(int i=1;i<=n;i++){ while( l<r && slope(q[l+1],q[l])<=X[i])l++; f[i]=f[q[l]]+C[i]+(P[i]-P[q[l]])*X[i]-D[i]+D[q[l]]; while( l<r && slope(q[r],q[r-1])>slope(i,q[r]))r--; q[++r]=i; } printf("%lld\n",f[n]); return 0; }