标签：type mem double force expected 操作 algorithm es2017 com
定义"项"为两个不同变量相乘。
求一个由多个不同"项"相加，含有n个不同变量的式子的最大值。
另外限制了每一个变量的最大最小值R[i]和L[i]和所有变量之和的最大值Max。
n<=13
刚开始做这道题的时候，感觉意外眼熟？
codeforces 839 E（此题的退化版）:http://codeforces.com/contest/839/problem/E
所以这里将介绍两道题的做法（证明）。
先来看
题意：给出一个图的邻接矩阵，要求给每个点赋一个>=0的值，使得点权和为K，并定义每条边权值为两端点点权的乘积，要求最大化边的权值和。
结论：最大化边权就是要将k均分给图中的最大团中的点。
证明：codeforces上给出了一种数学归纳法的证明:http://codeforces.com/blog/entry/53815
但这里将介绍一种新的证明方法：
首先，现在有一种分配点权的方案，
再假设当前a的点权为pa，b的点权为pb。
因为全部的点权和=k，所以要维持pa+pb = 一个定值。
这两个点对答案的贡献是pa*sa+pb*sb
若sa>=sb，那么(pa+pb)*sa+0*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把b的点权降为0更优。
若sa<=sb，那么0*sa+(pa+pb)*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把a的点权降为0更优。
由此可见，存在一种最优的分配方案，任意不相连的两个点，其中至少有一个点点权为0。
我们来证明这个团中，每个点的点权相同。
我们先给这个团中的每个点随机赋一个权值（满足权值和=k）。
若在这个团中并不是每个点的点权相同：
假设在这个团中，a,b权值pa不等于pb。（a与b相连）
设与a点相连的点权和（包括pb）为sa = k-pa，与b点相连的点权和（包括pa）为sb = k-pb。
假设把a的点权变为pa+t，b的点权变为pb-t对边的权值和的贡献最大。
这时，边的权值和的变化量为 t*(sa-pb) - t*(sb-pa) + (pa+t)*(pb-t) - pa*pb = - t*t + t*(sa-sb)
那么这变成了一个二次函数最值问题（初中知识吧。。）
t=(sa-sb)/2=(pb-pa)/2的时候最优。
此时a权从pa-->(pa+pb)/2，b权从pb-->(pa+pb)/2。即pa,pb变为了它们的平均数。
所以，可以对这个团进行若干个这样的操作，
每次取两个权值不相同的点，把它们的权值设为它们的平均数。
最终的最优方案，一定是每个点点权相同。
若团的大小为s。边的权值和为
s越大越好。
终于回到正题了。。。
若两个变量的乘积对答案有贡献，就将这两个点之间连一条边。与上题类似，唯一的区别就是：
L[i],R[i],Max的限制。并且，数据范围变小。
其实证明方法类似。
证明方法同上。
由a得到的结论可得，最优分配方案中，所有点权大于L[i],小于R[i]的点之间，两两都有边（即团）。
这里，设团中的点权和为tot。
设团中某两个点a,b（设点权分别为pa,pb，设pa+pb=S）
设a,b连向团外的点权和分别为Wa,Wb
这两个点对答案的贡献是pa*pb + pa*(tot-S+Wa) + pb*(tot-S+Wb) = -pa^2 + pa*(S+Wa-Wb) + S*(tot-S+Wb)
又是一个二次函数最值问题。
pa = (S+Wa-Wb)/2，pb = (S+Wb-Wa)/2时
（除非pa或pb不在L到R范围内，此时pa或pb有一项为L或R时更优，则a或b不会在团内，所以不考虑这种情况）
最优。
考虑pa和pb的特点：pa-Wa = (S-Wa-Wb)/2， pb-Wb = (S-Wa-Wb)/2。
于是pa - Wa = pb - Wb
所以这个团中的每一个点，pi - Wi是一个定值。
一个很简单的思路出来了。
枚举哪些点权为L[i]，哪些点权为R[i]，其余点形成团。
这个枚举的过程是3^n
这个基础上求解，
对于团中的每一个点，可以轻易地求出W[i]（定义见b）
也可以知道团的点权和 <= 一个值。设团的点权和 <= sum
由b的结论可得：团中p[i] - W[i]是一个定值。
设p[i] - W[i] = C
又p[i] = C+W[i] <= R[i]，所以C <= R[i] - W[i]。
p[i] = C+W[i] >= L[i]，所以C >= L[i] - W[i]。
同时sigma{p[i]}<=sum，所以sigma{ C+W[i] }<=R[i]。
由于点权总体越大越好，所以C越大越好。解上述不等式，求出最大的C。
最后求出在这种情况下图的边权和，更新答案，便做完了！
真是道好题！
注：可能我的方法不太优秀，欢迎各位大佬在评论区给出更方便的做法
1 #include <cstdio> 2 #include <string> 3 #include <vector> 4 #include <cstring> 5 #include <iostream> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 #define _CLASSNAME_ BoundedOptimization 9 #define _METHODNAME_ maxValue 10 #define _RC_ double 11 #define _METHODPARMS_ vector <string> s, vector <int> L, vector <int> R, int maxSum 12 #define ref(i,x,y)for(int i=x;i<=y;++i) 13 #define def(i,x,y)for(int i=x;i>=y;--i) 14 double tot, Ans; 15 int n, maxsum, w[13], W[13]; 16 struct xint { int L, R; }p[13]; 17 bool a[13][13]; 18 bool isletter(char c) { return c >= ‘a‘&&c <= ‘z‘; } 19 double _min(double a, double b) { return a < b ? a : b; } 20 void work(int x) { 21 if (maxsum < 0)return; 22 if (x == n) { 23 double tmp = 2e9; int num = 0, sum = 0; 24 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)tmp = _min(tmp, p[i].R - W[i]), ++num, sum += W[i]; 25 tmp = _min(tmp, 1.0*(maxsum - sum) / num); 26 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)if (tmp + W[i] < p[i].L)return; 27 double ans = tot, ans2 = (sum + num*tmp)*(sum + num*tmp); 28 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans += (tmp + W[i])*W[i]; 29 ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans2 -= (tmp + W[i])*(tmp + W[i]); 30 ans = ans + ans2 / 2; 31 if (ans > Ans)Ans = ans; 32 return; 33 } 34 int tmp = tot; 35 //first case 36 w[x] = p[x].L; 37 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x]; 38 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x]; 39 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x]; 40 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x]; 41 tot = tmp; 42 //second case 43 w[x] = p[x].R; 44 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x]; 45 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x]; 46 maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x]; 47 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x]; 48 tot = tmp; 49 //third case 50 w[x] = -1; W[x] = 0; 51 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && !a[x][i])return; 52 ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])W[x] += w[i]; 53 work(x + 1); 54 W[x] = 0; 55 } 56 class _CLASSNAME_ { 57 public: 58 _RC_ _METHODNAME_(_METHODPARMS_) 59 { 60 string S = ""; 61 memset(a, 0, sizeof a); 62 memset(W, 0, sizeof W); 63 memset(w, 0, sizeof w); 64 Ans = 0; tot = 0; 65 ref(i, 0, s.size() - 1)S = S + s[i]; 66 ref(i, 0, S.size() - 2)if (isletter(S[i]) && isletter(S[i + 1])) 67 a[S[i] - ‘a‘][S[i + 1] - ‘a‘] = a[S[i + 1] - ‘a‘][S[i] - ‘a‘] = 1; 68 n = L.size(); 69 ref(i, 0, n - 1)p[i].L = L[i], p[i].R = R[i]; 70 maxsum = maxSum; 71 work(0); 72 return _RC_(Ans); 73 } 74 // BEGIN CUT HERE 75 public: 76 void run_test(int Case) { if ((Case == -1) || (Case == 0)) test_case_0(); if ((Case == -1) || (Case == 1)) test_case_1(); if ((Case == -1) || (Case == 2)) test_case_2(); if ((Case == -1) || (Case == 3)) test_case_3(); } 77 private: 78 template <typename T> string print_array(const vector<T> &V) { ostringstream os; os << "{ "; for (typename vector<T>::const_iterator iter = V.begin(); iter != V.end(); ++iter) os << ‘\"‘ << *iter << "\","; os << " }"; return os.str(); } 79 void verify_case(int Case, const double &Expected, const double &Received) { cerr << "Test Case #" << Case << "..."; if (Expected == Received) cerr << "PASSED" << endl; else { cerr << "FAILED" << endl; cerr << "\tExpected: \"" << Expected << ‘\"‘ << endl; cerr << "\tReceived: \"" << Received << ‘\"‘ << endl; } } 80 void test_case_0() { string Arr0[] = { "ba+cb" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0,0,1 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 1,2,1 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 3; double Arg4 = 2.25; verify_case(0, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 81 void test_case_1() { string Arr0[] = { "ab" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0, 0, 10 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 20, 20, 20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 12; double Arg4 = 1.0; verify_case(1, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 82 void test_case_2() { string Arr0[] = { "ca+fc+fa+d","b+da+","dc+c","b","+ed+eb+ea" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 10,11,12,13,14,15 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 15,16,17,18,19,20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 85; double Arg4 = 2029.25; verify_case(2, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); } 83 void test_case_3() { 84 string Arr0[] = { "db+ea+ik+kh+je+","fj+lk+i","d+jb+h","a+gk+mb+ml+lc+mh+cf+fd+","gc+ka+gf+bh+mj+eg+bf+hf+l","b+al+ja+da+i", 85 "f+g","h+ia+le+ce+gi+d","h+mc+fe+dm+im+kb+bc+","ib+ma+eb+mf+jk+kc+mg+mk+","gb+dl+ek+hj+dg+hi","+ch+ga+ca+fl+ij+fa+jl+dc+dj+fk","+li+jg" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 57,29,50,21,49,29,88,33,84,76,95,55,11 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 58,80,68,73,52,84,100,79,93,98,95,69,97 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 845; double Arg4 = 294978.3333333333; verify_case(3, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); 86 } 87 88 // END CUT HERE 89 }; 90 // BEGIN CUT HERE 91 92 int main() { 93 _CLASSNAME_ user; 94 user.run_test(-1); 95 getchar(); 96 } 97 // END CUT HERE
TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization & Codeforces 839 E
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/7794609.html
