关于合同标准形的专题讨论

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合同标准形

$\bf命题：$设$\alpha $,$\beta $为实$n$维非零列向量，求$\alpha \beta ‘{\rm{ + }}\beta \alpha ‘$的正负惯性指数

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$\bf命题：$设$A = \left( {{a_{ij}}} \right),B = \left( {{b_{ij}}} \right)$均为$n$阶正定阵，则$\bf{Hadamard积}$$H = \left( {{a_{ij}}{b_{ij}}} \right)$也是正定阵

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$\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称半正定阵，则$A^*$半正定

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$\bf命题：$设$n$元实二次型$f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)$的正负惯性指数分别为$p,q(p \ge q)$，则存在$q$维子空间$W$，使得$f\left( x \right) = 0,\forall x \in W$

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$\bf命题：$

$\bf练习：$$\bf(10北科大九)$设$f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)$是秩为$n$的二次型，则存在${R^n}$上的一个$\frac{1}{2}\left( {n - \left| s \right|} \right)$维子空间${V_1}$，

使得对任意$\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right) \in {V_1}$，有$f\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right) = 0$

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$\bf练习：$$\bf()$

正交合同标准形

$\bf命题：$设$A$为$n$阶正定阵，$\alpha ,\beta $为$n$维列向量，则${\left( {{\alpha ^T}\beta } \right)^2} \le \left( {{\alpha ^T}A\alpha } \right)\left( {{\beta ^T}{A^{ - 1}}\beta } \right)$ 

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$\bf命题：$设实对称阵$A$的最大特征值等于$x‘Ax$的最大值，其中$x$取${R^n}$中的单位向量

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$\bf命题：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$tr\left( {AB} \right) \le tr\left( A \right) \cdot tr\left( B \right)$

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$\bf命题：$设$A,B$为$n$阶实对称阵，且$r\left( {A + \lambda B} \right) = 1$对任意数$\lambda$都成立，则$B=0$

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$\bf命题：$设$A,B$为实数域上的$n$阶方阵，且$AB+BA=0$，证明：若$A$为半正定阵，则$AB=BA=0$

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$\bf命题：$

$\bf练习：$$\bf(10浙大五)$设$A$为$n$阶实对称阵，则存在幂等阵${B_i}$，使得$A = \sum\limits_{i = 1}^s {{\lambda _i}{B_i}} $，其中$i = 1,2, \cdots ,s$

$\bf练习：$$\bf(13中科院六)$设$A$为$n$阶半正定阵，则$\left| {A + 2013E} \right| \ge {2013^n}$当且仅当$A=0$时等号成立

$\bf练习：$$\bf(06中科院七)$设实二次型$f\left( x \right) = x‘Ax$，$A$为$3 \times 3$实对称阵，且满足方程\[{A^3} - 6{A^2} + 11A - 6E = 0\]试计算   $\mathop {max}\limits_A \mathop {max}\limits_{\left\| x \right\| = 1} f\left( x \right)$，其中${\left\| x \right\|^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2$

$\bf练习：$$\bf(12南航八)$设$A,B$均为$n$阶实对称阵，且$A={B^3}$，证明下列命题

   (1)方程组$AX=0$与$BX=0$同解

   (2)对任意的实数$c\neq0$，矩阵$P=c^{2}E_{n}+cB+B^{2}$是正定阵

   (3)$A$的特征向量都是$B$的特征向量

$\bf练习：$$\bf(10厦大五)$设$A$为$n$阶实对称可逆阵，则$A$正定的充要条件是对任意的正定阵$B$，有$tr(AB)>0$

同时合同对角化

$\bf命题：$设$A$为正定阵，$B$为实对称阵，则$A$，$B$可同时合同对角化

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$\bf命题：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$A$，$B$可同时合同对角化

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$\bf命题1：$设$A,B$均为正定阵，则$\left| {A + B} \right| \ge \left| A \right| + \left| B \right|$

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$\bf命题2：$设$A,B$分别为正定阵与半正定阵，则$\left| {A + B} \right| \ge \left| A \right|$

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$\bf命题3：$设$A,B$均为半正定阵，则$\left| {A + B} \right| \ge \left| A \right| + \left| B \right|$

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$\bf命题：$设$A$实对称正定，$B$实对称半正定，则$tr\left( {B{A^{ - 1}}} \right)tr\left( A \right) \ge tr\left( B \right)$

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$\bf练习：$$\bf(10华科七)$设$A$为正定阵，$B$为对称阵，则存在常数$c$，使得$cA + B$为正定阵

$\bf练习：$$\bf(08华科三)$设$A,B \in {R^{n \times n}}$，且$A,B,A - B$均正定，则${B^{ - 1}} - {A^{ - 1}}$也正定

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$\bf练习：$$\bf(08华科五)$设$A,B$分别为$n$阶正定阵与半正定阵，则$\left| A \right| + \left| B \right| \le \left| {A + B} \right|$当且仅当$B = 0$时等号成立

$\bf练习：$$\bf(05中科院四)$证明函数$\ln \det \left(  \cdot  \right)$在对称正定矩阵集上是凹函数，即对任意的对称正定矩阵$A,B$及$\lambda  \in \left[ {0,1} \right]$,有\[\ln \det \left( {\lambda A + \left( {1 - \lambda } \right)B} \right) \le \lambda \ln \det \left( A \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\ln \det \left( B \right)\]

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