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其实我更想把他类比于符号函数，定义域N+，值域{-1，0，1}
定义函数：
根据定义有：
同时容易得出：
现定义公式：
代入到上述f(i)的求取，我们可以得到：
那么其中的μ(d)就是莫比乌斯函数，定义如下：
（1）当d=1时，μ(d)=1；
（2）当d=p1p2...pk为互异素数，μ(d)=-1;
（3）其他情况下，μ(d)=0.
莫比乌斯函数的性质：
（1）对于任意正整数有：
i：当n=1时，显然成立
ii：当n>1时，因为素因子存在，可以将n分解为:
在r的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为r个的因子有Crk个
可以拿n=51450=2*3*5*5*7*7*7举例
其中质因数个数为1的因子有C17=7个。有：2 3 5 7 25 49 343
其他类比即可
那么有：
即证明：
因为有二项式定理，将x=-1,y=-1，即证。
（2）莫比乌斯函数也是积性函数，所以其前缀和也是积性函数
两种求莫比乌斯函数的模板：
在线：
1 ll mubi(ll n) { 2 ll mu=1; 3 for(ll i=2;i*i<=n;++i) { 4 if(n%i==0) { 5 mu*=-1; 6 ll k=0; 7 do { 8 k++; 9 if(k>1) { 10 mu=0;break; 11 } 12 n/=i; 13 }while(n%i==0); 14 } 15 } 16 if(n>1) mu*=-1; 17 return mu; 18 }
离线：
1 mu[1]=1; 2 for(i=2;i<=n;i++) 3 { 4 if(!not_prime[i]) 5 { 6 prime[++tot]=i; 7 mu[i]=-1; 8 } 9 for(j=1;prime[j]*i<=n;j++) 10 { 11 not_prime[prime[j]*i]=1; 12 if(i%prime[j]==0) 13 { 14 mu[prime[j]*i]=0; 15 break; 16 } 17 mu[prime[j]*i]=-mu[i]; 18 } 19 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/lemonbiscuit/p/7801935.html
