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<学习笔记> 数论

时间:2017-11-09 19:49:15      阅读:157      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:证明   family   baidu   分解   F12   phi   计算   关系   bfd   

  •  筛法

  •   欧拉函数
  •  逆元
  • gcd、lcm、exgcd
  • 快速幂
  • 矩阵乘法
  • 排列组合
  • 分解质因数

 

1.筛法:

埃式筛 O( nloglogn )

 1 void Shaifa()
 2 {
 3     for(int i=2;i<=N;++i)
 4     {
 5         if(!pim[i]) 
 6         {
 7             q[++cnt]=i;
 8             for(int j=i*i;j<=N;j+=i)
 9                 pim[j]=1;
10         }
11     }
12 }

欧拉筛(线性筛) O ( n )

 1 void Shaifa()
 2 {
 3     for(int i=2;i<=N;++i)
 4     {
 5         if(!pim[i]) q[++cnt]=i;
 6         for(int j=1;j<=cnt&&(i*q[j])<=N;++j)
 7         {
 8             pim[i*q[j]]=1;
 9             if(i%q[j]==0)
10                 break;
11         }
12     }
13 }

 

2.欧拉函数:

 

φ(n)表示n的欧拉函数,对任意正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。(1也算)(注意φ(1)=1)。(互质:公约数只有1)

 

欧拉函数的简介:

 

计算公式技术分享
 
 
 
其中的pi为 x 的所有质因数,x为正整数。

其中的每种质因数只算一个,如 Φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)。

若n是质数p的k次幂,则技术分享,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。(p的倍数一共有 p^k-1个,1*p ,2*p...p^(k-1)*p);

 

欧拉函数是积性函数——若m,n互质,则 
技术分享
 

特殊性质:当n为奇数时,技术分享, 证明与上述类似。

 

若n为质数则 技术分享
 
(摘自百度百科)

 

 

公式证明:

1.容斥定理

设p1,p2,p3...pm为n的质因子,则n的欧拉函数为n减去包含p1的不超过n的数的个数,减去包含p2的不超过n的数的个数,再加上包含p1和p2的质因子的个数。

得到公式:

技术分享

 

 

化简得到

 技术分享

变形

技术分享

2.中国剩余定理(摘自百度百科)

 

设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集,据中国剩余定理,A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知,

 

技术分享

 

技术分享

 

例如
技术分享
 
 
 

 

与欧拉定理、费马小定理的关系

 

对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有

 

技术分享

 

即欧拉定理

 

当m是质数p时,此式则为:

 

技术分享

 

即费马小定理。

 

根据欧拉函数的性质,我们可以在线性的时间内筛出1~n中的每个数的欧拉函数。

线性筛欧拉函数:

前提:

   我们知道当n为质数p的k次幂(k>1)时,有Φ( n )= Φ(p^k)= p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1),则 Φ(p^(k-1)) 即为 (p-1)*p^(k-2)。所以 Φ(p^k)=Φ(p^(k-1))*p; 我们知道对于一个任意的数都能表示为一个p^k*a的形式(p^k 与 a 互质),根据欧拉函数的积性,Φ((p^(k-1)*a)*p)=Φ(p^k*a)=Φ(p^k)*Φ(a)=Φ(p^(k-1))*Φ(a)*p=Φ( p^(k-1)*a)*p;

   令 p^(k-1)*a为x,则 Φ(x*p)=Φ(x)*p;

   所以对于一个质数p和正整数x,若p为x的约数,则 Φ(x*p)= Φ(x)* p;

   若p不为x的约数,根据积性,有 Φ(x*p)= Φ(x)*Φ(p)=Φ(x)*(p-1);

令 phi[n]表示n的欧拉函数,可以得到代码:

 

 

 1 int cnt,N;
 2 int phi[100010],pim[100010],can[100010];
 3 
 4 void Done()
 5 {
 6     phi[1]=1;
 7     for(int i=2;i<=N;++i)
 8     {
 9         if(!can[i])  pim[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
10         for(int j=1;j<=cnt&&(i*pim[j])<=N;++j)
11         {
12             can[i*pim[j]]=1;
13             if(i%pim[j]==0)
14             {
15                 phi[i*pim[j]]=phi[i]*pim[j];
16                 break;
17             }
18             else  phi[i*pim[j]]=phi[i]*(pim[j]-1);
19         }
20     } 
21 }

 

 

 

3.逆元(乘法逆元)

若 ax≡1(mod p),则a和x互为模p意义下的逆元。

一般应用,除法取模时把 a/b(mod p)转化为 a*(1/b)(mod p).

(1)费马小定理

技术分享

可知 a*a^(p-2)≡1(mod p) , a^(p-2)≡ 1/a (mod p)。

(2)欧拉定理

若 a,p都为正整数,且a,p互质,则

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(3)exgcd

  ax≡1(mod p)可转化为 ax+py=1,再求x,条件:a,p互质

(4)公式

 a/b(mod p)= a(mod)(pm)/b 。

 

证明:

(a/b)mod m = ans ;

 

a/b = ans + k * m ;

 

a = ans * b + k * m * b ;

 

a mod ( bm ) = ans * b ;

 

a mod ( bm ) / b = ans ;

 

得证。

 

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原文地址:http://www.cnblogs.com/maple-kingdom/p/maple-kingdom_thing.html

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