标签：cat 比较 clu 关系 gravity 凸包 amp 没有 style
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“一些试题中繁杂的代数关系身后往往隐藏着丰富的几何背景，而借助背景图形的性质，可以使那些原本复杂的数量关系和抽象的概念，显得直观，从而找到设计算法的捷径。”—— 周源《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》
斜率优化的核心即为数形结合，具体来说，就是以DP方程为基础，通过变形来使得原方程形如一个函数解析式，再通过建立坐标系的方式，将每一个DP方程代表的状态表示在坐标系中，在确定“斜率”单调性的前提下，进行形如单调队列操作的舍解和维护操作。
题目大意：
给出一个有N (1<= N <=400000)个正数的序列，要求把序列分成若干组（可以打乱顺序），每组的元素个数不能小于T (1 < T <= N)。每一组的代价是每个元素与最小元素的差之和，总代价是每个组的代价之和，求总代价的最小值。
样例输入包含：
第一行 N
第二行 N个数，如题意
样例输出包含：
第一行 最小的总代价
分析：
首先，审题。可以打乱序列顺序，又知道代价为组内每个元素与最小值差之和，故想到贪心，先将序列排序（用STL sort）。
先从最简单的DP方程想起：
容易想到：
f[i] = min( f[j] + (a[j + 1 -> i] - Min k) ) （0 <= j < i）
– –> f[i] = min( f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j ) )
Min k 代表序列 j + 1 -> i 内的最小值，排序后可以简化为a[j + 1]。提取相似项合并成前缀和sum。这个方程的思路就是枚举 j 不断地计算状态值更新答案。但是数据规模达到了 40000 ，这种以O（n ^ 2）为绝对上界方法明显行不通。所以接下来我们要引入“斜率”来优化。
首先要对方程进行变形：
f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j )
– –> f[i] = (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) - i * a[j + 1] + sum[i]
（此步将只由i决定的量与只由j决定的量分开）
由于 sum[i] 在当前枚举到 i 的状态下是一个不变量，所以在分析时可以忽略（因为对决策优不优没有影响）（当然写的时候肯定不能忽略）
令 i = k
a[j + 1] = x
f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j = y
f[i] = b
原方程变为
– –> b = y - k * x
移项
– –> y = k * x + b
是不是很眼熟？ 没错，这就是直线的解析式。观察这个式子，我们可以发现，当我们吧许许多多的答案放在坐标系上构成点集，且枚举到 i 时，过每一个点的斜率是一样的！！ 很抽象？ 看图
可以看出，我们要求的f[i]就是截距，明显，延长最右边的直线交于坐标轴可得最小值。难道只要每次提取最靠近 i 的状态就行了嘛？现实没有那么美好。
像这样的情况，过2直线的截距明显比过3直线的截距要小， 意味着更优（在找求解最小值问题时），这种情况下我们之前的猜想便行不通。
那怎么办呢？这时就要用到斜率优化的核心思想——维护凸包。
何为凸包？
不懂得同学还是戳这里：http://baike.baidu.com/link?url=OWX7haiZHtuKD2hjbEBVouUGxKXIMvXDnKra0xDhxuz9zGttTg_JoRwmUcbrGD9Xp2BnbCJDF8BblaQffDBvblg0xNqgIOXCVZpQ7ZNBkWG
其实我们要维护的凸包与这个凸包并无关系，只是在图中长得像罢了。
那为什么要维护凸包呢？
还要看图：
这就是一个下凸包，由图可见，最前面的那个点的截距最小，也诠释了维护凸包的真正含义（想一想优先队列，是不是队首最优？）。那还是有人会提出疑问，为什么非要维护这样的凸包呢？ 答案就是，f[i]明显是递增的（相比于f[j] 加上一个代价），所以会在图中自然而然地显现出 Y 随着 X增加而增加的情况，呈现出凸包的模样。
可能这个过程比较晦涩难懂，没懂的同学可以多看几遍。
现在我们回到对 数 的分析
现在假设我们正在枚举 j 来更新答案，有一个数 k， j < k < i
再来假设 k 比 j 优（之所以要假设正是要推出具体情况方便舍解）
则有
f[k] + sum[i] - sum[k] - a[k + 1] * (i - k) <= f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * (i - j) (k > j)
移项消项得
f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) <= i * (a[k + 1] - a[j+ 1])
将只与 i 有关的元素留下，剩下的除过去， 得到
f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) / (a[k + 1] - a[j + 1])<= i
（这里注意判断除数是否为负， 要变号，当然这里排序过后对于 k > j a[k] 肯定大于 a[j]）
这个式子什么意思呢？我用人类的语言解释一下。
设 Xi = a[i], Yi = f[i] - sum[i] + a[i + 1] * i
那么原式即为如下形式：
(Yk - Yj) / (Xk - Xj) <= i
意思就是当有k 和 j 满足 j < k 的前提下 满足此不等式
则证明 j 没有 k 优
而这个式子的左边数学意义是斜率， 而右边是一个递增的变量， 所以递增的 i 会淘汰队列里的元素， 而为了高效的淘汰， 我们会（在这道题里）选用斜率递增的单调队列，也就是上凸包。（再看看前面的图，是不是斜率在递增）
我们还可以从另一个角度理解维护上凸包的理由
仔细观察下面的图：
一开始，1 号点的截距比2号点更优
随着斜率的变化，两个点的截距变得一样了
然后，斜率接着变化，1号点开始没有2号点优了，所以要舍弃
后面的过程，3号点会渐渐超过2号点，并淘汰掉2号点
分析整个过程，最优点依次是 1 -> 2 -> 3，满足单调的要求
但是如果是一个上凸包会怎样呢？
这里只给出最终图（有兴趣的同学可以自己推一推），可以预见的是，在1赶超2前，3先赶超了2就破坏了顺序，因此不行
思路大概是清晰了，现在只剩下代码实现方面的问题了
下面就看看单调队列的操作
先将推出的X, Y用函数表示方便计算：
X：
dnt X( int i, int j ) { return a[j + 1] - a[i + 1]; }
（dnt 是 typedef 的 long long）
Y：
dnt Y( int i, int j ) { return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]); }
处理队首：
for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++);
从队尾维护单调性：
（这里是一个下凸包所以两点之间的斜率要递增，即 斜率（1， 2） < 斜率（2， 3）, 前一个斜率比后一个小）
for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--);
（注意，要把除法写成乘的形式，不然精度可能会出问题）
斜率优化部分已经完结（说起来挺复杂其实代码很短），接下来就放出AC代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; typedef long long dnt; int n, T, Q[405005]; dnt sum[405005], f[405005], a[405005]; dnt Y( int i, int j ) { return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]); } dnt X( int i, int j ) { return a[j + 1] - a[i + 1]; } dnt DP( int i, int j ) { return f[j] + (sum[i] - sum[j]) - (i - j) * a[j + 1]; } inline dnt R() { static char ch; register dnt res, T = 1; while( ( ch = getchar() ) < ‘0‘ || ch > ‘9‘ )if( ch == ‘-‘ )T = -1; res = ch - 48; while( ( ch = getchar() ) <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘) res = res * 10 + ch - 48; return res*T; } int main() { sum[0] = 0; while(~scanf( "%d%d", &n, &T )) { a[0] = 0, f[0] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) scanf( "%I64d", &a[i] ); sort(a + 1, a + n + 1); for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i]; int h = 0, t = 0; Q[++t] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { int cur = i - T + 1; for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++); f[i] = DP(i, Q[h + 1]); if(cur < T) continue; for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--); Q[++t] = cur; } printf( "%I64d\n", f[n] ); } return 0; }
注释版本：
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=800010; long long dp[maxn],q[maxn]; long long a[maxn],sum[maxn]; long long getdp(long long i,long long j) { return dp[j]+(sum[i]-sum[j])-a[j+1]*(i-j); } long long getdy(long long j,long long k)//得到 yj-yk k<j { return dp[j]-sum[j]+j*a[j+1]-(dp[k]-sum[k]+k*a[k+1]); } long long getdx(long long j,long long k)//得到 xj-xk k<j { return a[j+1]-a[k+1]; } int main() { long long i,j,n,k,head,tail,m; while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){ head=tail=0; sum[0]=q[0]=dp[0]=q[1]=0; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); sort(a+1,a+n+1); for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i]; for(i=1;i<=n;i++){ //删去队首斜率小于目前斜率的点 while(head<tail&&(getdy(q[head+1],q[head])<=i*getdx(q[head+1],q[head]))) head++; dp[i]=getdp(i,q[head]); j=i-m+1; if(j<m) continue; //接下来是对j而不是i进行处理 ，保证了间隔大于m-1的要求 while(head<tail&&(getdy(j,q[tail])*getdx(j,q[tail-1])<=getdy(j,q[tail-1])*getdx(j,q[tail]))) tail--; q[++tail]=j; } printf("%lld\n",dp[n]); } return 0; }
HDU3045 Picnic Cows （斜率DP优化）（数形结合）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hua-dong/p/7818231.html
