一些常用的数学递推式

时间：2017-11-11 20:42:38 阅读：172 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

错排公式：

考虑一个有 $n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为 D n。$

$比如说：如在写信时将n封信装到 n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况。$

$D (1) =0,D (2) =1,D (n) =(n-1)*(D (n-1) +D (n-2))$

$证明：$

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

$wiki: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98$

原文地址：http://www.cnblogs.com/sun-yinkai/p/7819859.html

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