复合函数

\(\fbox{例1}\)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题)
若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是（）

A、\([3，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((0，1)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((1，3]\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((1，3)\)

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，结合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故选D。

\(\fbox{例2}\)(复合函数的求导)
设\(f(x)=sin(2x+1)\)，求导函数\(f'(x)\)；设\(g(x)=ln(x^2+3x)\)，求导函数\(g'(x)\)；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，则复合函数为\(y=f[g(x)]\)，\([f(g(x))]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)\)

令\(\phi=2x+1\)，则\(y=f(x)=sin\phi\)，故\(f'(x)=y'_x=y'_{\phi}\cdot \phi'_x=cos\phi\cdot 2=2cos(2x+1)\)；

\(g'(x)=\cfrac{1}{x^2+3x}\cdot (x^2+3x)'=\cfrac{2x+3}{x^2+3x}\)；