CS229 笔记03

局部加权线性回归

• Non-Parametric Learning Algorithm （非参数学习方法）

Number of parameters grows with the size of sample. （参数的数目随着样本的数目增加而增加。）

• Locally Weighted Regression （局部加权线性回归）

损失函数的定义为： $ J_\Theta=\sum_i{w^{(i)}(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2} $ 。

其中 $ w^{(i)}={\rm {exp}}[-\frac{1}{2}(x^{(i)}-x)^2] $ . 即对于一个待预测的 \(x\) ，训练集中离 \(x\) 越远的样本，其对于模型的影响就越小。这也就意味着在每作出一个预测之前，都要重新训练一遍模型。

线性模型的概率解释

• Probabilistic Interpretation （概率解释）

假设真实房价 \(y^{(i)}=\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}+\varepsilon^{(i)}\) ，其中 \(\varepsilon^{(i)}\) 为误差。

因为误差是由很多其它未知因素引起的，在未知因素比较多，且假设这些未知因素是相互独立的时候，根据中心极限定理，可以认为 \(\varepsilon^{(i)}\) 服从正态分布。

即 \(\varepsilon^{(i)} \sim {\scr N}(0,\sigma^2)\) ， \({\rm P}(\varepsilon^{(i)})=\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(\varepsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}\) 。

从而对于给定的 \(\Theta\) 和 \(x^{(i)}\) ，\(y^{(i)} \sim {\scr N}(\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}, \sigma^2)\) ，即 \(P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)=\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}\) 。

对于整个样本集 \(X\) ，模型所做出的估计与真实值 \(Y\) 的相似程度（也称作“似然性”）可以看作是模型预测出“正确”的 \(Y\) 的概率，即似然性可表示为 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)\) 。

对于每个样本 \(x^{(i)}\) 及其目标值 \(y^{(i)}\) ，若假设每个目标值都是独立同分布的（IID），所可则直接把 $P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta) $ 连乘起来，即 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)=\prod_i{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}\) 。

而训练模型所需的工作就是最大化预测出“正确”的 \(Y\) 的概率，即最大似然估计（Maximize Likelihood）。

为了方便，令 \(l(\Theta)=\log{L(\Theta)}\) 。

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\[ \begin{eqnarray*} l(\Theta)&=&\log{L(\Theta)} \\[1em] &=&\log{\prod_{i}^{m}{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}} \\[1em] &=&\log{\prod_{i}^{m}{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}\exp{\left[-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}\right]}}} \\[1em] &=&\sum_{i}^{m}{\log{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}}-\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2\sigma^2}} \\[1em] &=&m\log{\frac{1}{\sqrt2 \pi \sigma}}-\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}} \\[1em] \end{eqnarray*} \]
要想最大化 \(l(\Theta)\) ，就要最小化 \(\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}}\) 。

而\(\sum_{i}^{m}{\frac{(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)})^2}{2}}\) 就是之前提到过的 \(J(\Theta)\) 。

这就从概率方面解释了为什么误差要用最小二乘（Minimize Square），而不是最小化 \(y^{(i)}-\Theta^{{\rm T}}x^{(i)}\) 的绝对值或者三次方、四次方等等。

逻辑回归

• Logistic Regression （逻辑回归）

虽然叫做“回归”，实际上是用来解决分类问题。

• Logistic Function / Sigmoid Function

\(g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\)

• 训练过程推导

在Logistic Regression中，估计函数变成了 \(h_\Theta(x^{(i)})=g(\Theta^{{\rm T}}x)=\frac{1}{1+e^{-\Theta^{{\rm T}}x}}\) 。

由于 \(g(z)\) 的取值范围是 \((0,1)\) ，所以函数值可以直接看作是概率，即：

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\[ \begin{eqnarray*} P(y^{(i)}=1|x^{(i)};\Theta)&=&h_\Theta(x^{(i)}) \\[1em] P(y^{(i)}=0|x^{(i)};\Theta)&=&1-h_\Theta(x^{(i)}) \\[1em] P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)&=&\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}} \\[1em] \end{eqnarray*} \]
根据之前的讨论，令 \(L(\Theta)=P(Y|X;\Theta)=\prod_i^m{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}\) ， \(l(\Theta)=\log{L(\Theta)}\) 。

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\[ \begin{eqnarray*} l(\Theta)&=&\log{L(\Theta)} \\[1em] &=&\log{\prod_i^m{P(y^{(i)}|x^{(i)};\Theta)}} \\[1em] &=&\log{\prod_i^m{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}}}} \\[1em] &=&\sum_i^m\log{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]^{y^{(i)}}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]^{1-y^{(i)}}} \\[1em] &=&\sum_i^m{y^{(i)}}\log{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]}+({1-y^{(i)}})\log{\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]} \\[1em] \frac{\partial}{\partial \Theta}l(\Theta)&=&\frac{\partial}{\partial \Theta}{\sum_i^m{y^{(i)}}\log{\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]}+({1-y^{(i)}})\log{\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right]}} \\[1em] &=&\sum_i^m\frac{y^{(i)}}{h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]+\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left[1-h_\Theta(x^{(i)})\right] \\[1em] &=&\sum_i^m\frac{y^{(i)}}{h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left[h_\Theta(x^{(i)})\right]-\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\Theta(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left[h_\Theta(x^{(i)})\right] \\[1em] &=&\sum_i^m\left(\frac{y^{(i)}}{h_\Theta(x^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-h_\Theta(x^{(i)})}\right) \frac{\partial}{\partial \Theta}\left[h_\Theta(x^{(i)})\right] \\[1em] \end{eqnarray*} \]
训练的目标就是找到一个理想的 \(\Theta\) ，最大化 \(l(\Theta)\) 。

所以训练过程就是：
\[ \Theta :=\Theta+\alpha \nabla_\Theta l(\Theta) \]

感知机

• Perception Algorithm（感知机算法）

• Step Function（阶梯函数）
  \[ g(z)=\begin{cases}1, &{z\geq0}\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases} \]
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