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在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和。[2]再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。[3]在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理。
历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。
贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。
在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε, δ)定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。
在十九世纪末时，也发现了许多病态函数，像是处处不连续函数、处处连续但处处不可微分的魏尔斯特拉斯函数以及空间填充曲线等，卡米尔·若尔当发展了若尔当测度，而格奥尔格·康托尔提出了现在称为朴素集合论的理论，勒内-路易·贝尔证明了贝尔纲定理。在二十世纪初期，利用公理化的集合论将微积分进行形式化，昂利·勒贝格解决了量测问题，大卫·希尔伯特导入了希尔伯特空间来求解积分方程。赋范向量空间的概念已经提出，1920年代时斯特凡·巴拿赫创建了泛函分析。
数学中的度量空间是一个集合，而集合中两个元素的距离（叫做度量）有清楚的定义。
大部份的数学分析都是针对特定的度量空间，最常见的是数线、复数平面、欧几里得空间、其他向量空间及整数。数学中没有度量的分包括有量测理论（描述大小而不是距离）及泛函分析（研究不需要距离概念的拓扑向量空间）
度量空间是一个有序对
，其中
是一集合，而
为中的度量〈也是函数〉
使得针对任何的
，以下的叙述都成立：
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原文地址：http://www.cnblogs.com/fore/p/3971053.html
（非负性）
（
（对称性）和
（