经典算法宝典——贪婪思想(五)(1)

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贪婪法（Greedy）又叫登山法，它的根本思想是逐步到达山顶，即逐步获得最优解，是解决最优化问题时的一种简单但适用范围有限的策略。“贪婪”可以理解为以逐步的局部最优，达到最终的全局最优。

贪婪算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择。一定要注意，选择的贪婪策略要具有无后向性，即某阶段状态一旦确定以后，不受这个状态以后的决策影响。也就是说某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关，也称这种特性为无后效性。因此，适应用贪婪策略解决的问题类型较少，对所采用的贪婪策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

说明：

贪婪算法策略在《数据结构》课程中的算法也有广泛的应用，如霍夫曼树、构造最小生成树的Prim算法和Kruskal算法的决策过程，都是使用的贪婪算法策略。

一、贪婪策略算法设计框架

1、贪心法的基本思路

从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，每一步都作一个不可回溯的决策，尽可能地求得最好的解。当达到某算法中的某一步不需要再继续前进时，算法停止。

2、该算法适用的问题

贪婪策略面对问题只须考虑当前局部信息就要做出决策，也就是说适用贪婪算法的前提是”局部最优策略能导致产生全局最优解“。

3、该策略下的算法框架

从问题的某一初始解出发；
while(能朝给定总目标前进一步)
	利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；
由所有解元素组合成问题的一个可行解。

贪婪算法的原理是通过局部最优来达到全局最优，采用的是逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都作出一个看上去最优的（在一定的标准下），决策一旦作出，就不可再更改。用贪婪算法只能解决通过局部最优的策略能达到全局最优的问题。因此，一定要注意判断问题是否适合采用贪婪算法策略，找到的解是否一定是问题的最优解。

贪婪算法是依靠经验或直觉，确定一个找最优解的决策，逐步决策获得问题的最优解。在一般情况下，选出最优决策标准是使用贪心设计求解问题的核心。要选出最优决策并不是一件容易的事情，因为最优决策对问题的适用范围可能是非常有限的。

因此，贪婪策略一定要精心确定，在使用之前，最好对策略的可行性进行数学证明。这里，不可能告诉大家一个通用的制定最优解的决策的标准，所以贪婪算法要谨慎使用。

二、可绝对贪婪问题

1、设计一个算法，把一个真分数表示为埃及分数之和的形式。所谓埃及分数，是指分子为1的分数。比如7/8 = 1/2 + 1/3 + 1/24。

数学模型：

将一个真分数F表示为A/B；做BA的整除运算，商为D，余数为K（0 < K < A），它们之间的关系及导出关系如下：

B = AD + K

B/A = D + K/A < D + 1

A/B > 1/(D + 1)

记C = D + 1，这样就找到了分数F所包含的“最大的”埃及分数就是1/C。进一步计算：

A/B - 1/C = (AC - B)/(BC)

也就是说继续要解决的是有关分子为A = AC - B，分母为B = BC的子问题。

算法设计：

(1)设某个真分数的分子为A（），分母为B；

(2)把B除以A的商的整数部分加1后的值作为埃及分数的一个分母C；

(3)输出1/C；

(4)将A乘以C减去B作为新的A；

(5)将B乘以C作为新的B；

(6)如果A大于1且能整除B，则最后一个埃及分数的分母为B/A；

(7)如果A = 1，则最后一个分母为B；否则转到步骤(2)。

例子思想：

C = 8/7 + 1 = 2                   // 说明7/8 > 1/2

打印1/2，

A = 72 - 8 = 6                   // 在计算7/8 - 1/2 = (72 - 8)/(72) = 6/16 = A/B

B = BC = 16

C = 16/6 + 1 = 3                // 说明16/6 > 1/3

打印1/3，

A = 63 - 16 = 2，             // 在计算6/16 - 1/3 = (63 - 16)/(163) = 2/48 = A/B

B = BC = 163 = 48

A > 1但B/A为整数24，打印1/24结束。

算法实现：

#include<stdio.h>

void main()
{
	int a, b, c;
	printf("input element:\n");
	scanf("%d", &a);
	printf("input denominator:\n");
	scanf("%d", &b);
	if(a >= b)
		printf("input error");
	else if((a == 1) || (b % a) == 0)
		printf("%d/%d = 1/%d", a, b, b/a);
	else
		while(a != 1)
		{
			c = b/a + 1;
			a = a*c -b;
			b = b*c;
			printf("1/%d", c);
			if(a > 1)
				printf(" + ");
			if(b % a == 0 || a == 1)
			{
				printf("1/%d", b/a);
				a = 1;
			}
		}

		printf("\n");
}

三、相对或近似贪婪问题

1、币种统计问题

某单位给每个职工发工资（精确到元）。为了保证不要临时兑换零钱，且取款的张数最少，取工资前要统计出所有职工的工资所需各种币值（100，50，20，10，5，2，1元共7种）的张数。

算法设计：

(1)合理的情况每个的工资应该由文件读入，为了突出算法思想，还是从键盘输入每个的工资。

(2)为了能达到取款的张数最少，且保证不要临时兑换零钱，应该对每一个人的工资，用“贪婪”的思想，先尽量多地取大面额的币种，由大面额到小面额币种逐渐统计。

(3)7中面额无规律可循，而统计每个职工的工资的计算都要用到这7种币值，为了能构造出循环不变式，将7种币值存储在数组B。这样，7种币值就可表示为B[i]，i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。为了能实现贪婪策略，7种币值应该从大面额的币种到小面额的币种依次存储。

(4)算法需要统计7种面额的数量，设置一个有7个元素的累加器数组S，这样操作就可以通过循环顺利完成了。

算法实现：

#include<stdio.h>

void main()
{
	int i, j, n, GZ, A, B[8] = {0, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1}, S[8] = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &GZ);
		for(j = 1; j <= 7; j++)
		{
			A = GZ/B[j];
			S[j] = S[j] + A;
			GZ = GZ - A * B[j];
		}
	}
	for(i = 1; i <= 7; i++)
		printf("%d: %d\n", B[i], S[i]);
}

说明：

(1)每求出一种面额所需的张数后，要把这部分金额减去“GZ = GZ - A * B[j];”，否则将会重复计算。

(2)在用贪婪算法策略时，最好能用数学方法证明每一步的策略是否能保证得到最优解。

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经典算法宝典——贪婪思想(五)(1)

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