图论模板

LCA

离线

tarjan

//可使用快读
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=500050;
int po[MAXN],qs[MAXN],fa[MAXN],nume,numq,n,m,root,ans[MAXN];
bool f[MAXN];
struct edge{
    int to,nxt;
}e[2*MAXN];
struct ques{
    int to,nxt,num;
}q[2*MAXN];
void adde(int from,int to){
    e[++nume].nxt=po[from];
    e[nume].to=to;
    po[from]=nume;
}
void addq(int from,int to,int num){
    q[++numq].nxt=qs[from];
    q[numq].to=to;
    q[numq].num=num;
    qs[from]=numq;
}
int find(int x){
    if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void merge(int x,int y){
    int r1=find(x),r2=find(y);
    if(r1!=r2){
        fa[r1]=r2;
    }
}
void tarjan(int u){
    f[u]=1;
    for(int i=qs[u];i;i=q[i].nxt){
        int v=q[i].to;
        if(f[v]) ans[q[i].num]=find(v);
    }
    for(int i=po[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(!f[v]) {   //此处是v不是i
            tarjan(v);merge(v,u);
        }
    }
}
int main(){
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        adde(u,v);adde(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;//记得初始化
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addq(u,v,i);addq(v,u,i);
    }
    tarjan(root);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d\n",ans[i]);
    }
//  fclose(stdin);
    return 0;
}

洛谷P3379

最短路径

dijkstra

稠密图就用它
朴素的dijkstra的时间复杂度是O(N^2)，对于数据量大的，一般过不了。
STL堆优化dijkstra O(M*logN)，网上的博客对时间复杂度的分析大都是错的，使用方便，较优，一般可以使用。
由于每次松弛操作都要进队列，导致时间复杂度偏高。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=10005,MAXM=500005;
int head[MAXN],nume,n,m,start,dis[MAXN];
struct edge{
    int to,nxt,dis;
}e[MAXM];//如果是无向边 就要开两倍数组大小。
void adde(int from,int to,int dis){
    e[++nume].to=to;
    e[nume].nxt=head[from];
    e[nume].dis=dis;
    head[from]=nume;
}
int read(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-'){
            fh=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return rv*fh;//记得返回值
}
struct cmp{
    bool operator() (const int &a,const int &b) const{
        return dis[a]>dis[b];
    }
}; //     ATTENTION！！！！
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=read();m=read();start=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),dis=read();
        adde(u,v,dis);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0x7fffffff/3;
    dis[start]=0;
    priority_queue <int,vector<int>,cmp >he;
    he.push(start);
    while(!he.empty()){
        int u=he.top();
        he.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis){
                dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
                he.push(v);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dis[i]==0x7fffffff/3) printf("%d ",0x7fffffff);
        else printf("%d ",dis[i]);
    }
    fclose(stdin);
    return 0;
}

上文中的代码中应用了STL的priority_queue,此数据结构以堆的形式实现优先队列，默认大根堆，比较符号为小于号,即less< int >,
可使用greater< int >变成小根堆。但在定义的时候
priority_queue <(空格） < int>，vector< int >,greater< int >(空格）>
也可重载小于号.
也可定义一个比较类，如上文，注意重载(),且a < b时为大根堆。

手写堆优化dijkstra
clever

SPFA

稀疏图使用
O(kE) 不稳定可能退化成O(n^3)可以判负权回路
代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN=10005,MAXM=500005;
int head[MAXN],n,m,start,dis[MAXN],nume;
struct edge{
    int to,nxt,dis;
}e[MAXM];
queue <int> spfa;
bool f[MAXN];
int read(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-'){
            fh=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return fh*rv;
}
void adde(int from,int to,int dis){
    e[++nume].to=to;
    e[nume].dis=dis;
    e[nume].nxt=head[from];
    head[from]=nume;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=read();m=read();start=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),dis=read();
        adde(u,v,dis);/*adde(v,u,dis);*/
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0x7fffffff/3;
    dis[start]=0;
    f[start]=1;
    spfa.push(start);
    while(!spfa.empty()){
        int u=spfa.front();
        spfa.pop();
        f[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis){
                dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
                if(!f[v]){
                    f[v]=1;
                    spfa.push(v);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dis[i]==0x7fffffff/3) printf("%d ",0x7fffffff);
        else printf("%d ",dis[i]);
    }
    fclose(stdin);
    return 0;
}

最小生成树

kruskal
O(E*logE) 稀疏图较好，代码简单。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
struct edge{
    int from,to,dis;
}e[400005];
int fa[5005],n,m,nume,k,tot;
int find(int x){
    if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void merge(int x,int y){
    int r1=find(x),r2=find(y);
    if(r1!=r2) fa[r1]=r2;
}
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.dis<b.dis;
}
int read(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') fh=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return rv*fh;
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),dis=read();
        e[++nume].from=u;e[nume].to=v;e[nume].dis=dis;
    }
    sort(e+1,e+nume+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=nume;i++){
        int u=e[i].from,v=e[i].to;
        if(find(u)!=find(v)){
            k++;
            merge(u,v);
            tot+=e[i].dis;
            if(k>=n-1) break;
        }
    }
    //cout<<tot<<endl;
    if(k>=n-1){
        printf("%d ",tot);
    }else printf("orz");
    fclose(stdin);
    return 0;
}

prim，复杂度与dijkstra相似，稍后再看

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN=5005,MAXM=200005;
int init(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
         if(c=='-') fh=-1;
         c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return rv*fh;
}
struct edge{
    int to,nxt,dis;
}e[MAXM*2];
int head[MAXN],dis[MAXN],n,m,tot,nume;
bool f[MAXN];
void adde(int from,int to,int dis){
    e[++nume].to=to;
    e[nume].dis=dis;
    e[nume].nxt=head[from];
    head[from]=nume;
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=init();m=init();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=init(),v=init(),dii=init();
        adde(u,v,dii);adde(v,u,dii);
    }
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    f[1]=1;
    dis[1]=0;
    for(int i=head[1];i;i=e[i].nxt){
        dis[e[i].to]=min(dis[e[i].to],e[i].dis);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int mi=0x3f3f3f3f,k=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!f[i]){
                if(dis[i]<mi){
                    mi=dis[i];k=i;
                }
            }
        }
        if(k==0){
            printf("orz");return 0;
        }
        tot+=mi;
        f[k]=1;
        //cout<<tot<<endl;
        for(int i=head[k];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            dis[v]=min(dis[v],e[i].dis);
        }
    }
    printf("%d",tot);
    fclose(stdin);
    return 0;
}

图的连通性

tarjan

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <stack>
using namespace std;
const int MAXN=5005,MAXM=50005;
int read(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') fh=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return rv*fh;
}
struct edge{
    int to,nxt;
}e[MAXM*2];
int head[MAXN],fa[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN],index,bcnt,nume,n,m,ma,k;
bool f[MAXN];
void adde(int from,int to){
    e[++nume].to=to;
    e[nume].nxt=head[from];
    head[from]=nume;
}
stack<int> st;
void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++index;
    f[u]=1;
    st.push(u);
    int v=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
         v=e[i].to;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(f[v]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int tot=0;
        bcnt++;
        do{
            tot++;
            v=st.top();
            st.pop();
            f[v]=0;
            fa[v]=bcnt;
        }while(v!=u);
        if(tot>ma){
            ma=tot;
            k=bcnt;
        }
    }
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),t=read();
        adde(u,v);
        if(t==2) adde(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    printf("%d\n",ma);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(fa[i]==k) printf("%d ",i);
    fclose(stdin);
    return 0;
}

tarjan缩点

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN=10005,MAXM=100005;
int init(){
    int rv=0,fh=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') fh=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return fh*rv;
}
stack <int> sta;
struct edge{
    int to,from,nxt;
}e[MAXM],nww[MAXM];
int n,m,val[MAXN],inn[MAXN],nume,head[MAXN],dp[MAXN],fa[MAXN],ind,cnt,dfn[MAXN],low[MAXN],sum[MAXN],nwh[MAXN];
bool f[MAXN];
void adde(int from,int to){
    e[++nume].to=to;
    e[nume].nxt=head[from];
    head[from]=nume;
    e[nume].from=from;
}
void addn(int from,int to){
    nww[++nume].to=to;
    nww[nume].nxt=nwh[from];
    nwh[from]=nume;
}
void tarjan(int u){
    low[u]=dfn[u]=++ind;
    sta.push(u);
    f[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(f[v]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        cnt++;
        int v=0;
        do{
            v=sta.top();
            sta.pop();
            f[v]=0;
            fa[v]=cnt;
            sum[cnt]+=val[v];
        }while(v!=u);
    }
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    n=init();m=init();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        val[i]=init();
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=init(),v=init();
        adde(u,v);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    nume=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(fa[e[i].from]!=fa[e[i].to]){
            addn(fa[e[i].from],fa[e[i].to]);
            inn[fa[e[i].to]]++;
        }
    }
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(!inn[i]) {q.push(i);dp[i]=sum[i];}
        
    }
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=nwh[u];i;i=nww[i].nxt){
            int v=nww[i].to;
            inn[v]--;
            dp[v]=max(dp[v],dp[u]+sum[v]);
            if(!inn[v]) q.push(v);
        }
    }//cout<<cnt;
    //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<fa[i]<<endl;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans;
    fclose(stdin);
    return 0;
}