张量（tensor）简介

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1. contravariant transformation，中文为逆变或反变，

   设向量空间两组基: \(X_{i}\) 和 \(Y_{i}\) , 并且前组基到后组基的过渡矩阵为 \(R\), 向量\(\xi\) 在两组基下的坐标分别为 \(x_{i}\) 和\(y_{i}\),（很多物理量不依赖于坐标选取）
   则有 \(y_{i}=R^{-1}x_{i}\) ,坐标变换为过渡矩阵的逆乘以原坐标，故称为逆变

2. covariant transformation ，中文为共变或协变，
   例如线性变换 \(\sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3},...,Y_{n})=\sigma(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})R\) ，为变换乘上过渡矩阵

3. X基到Y基： \(Y_{i}=\sum_{j=1}^{n}X_{j}R_{ij}\)
   若使用爱因斯坦求和约定，即重复的角标从1-n求和
   则可简写为：\(Y_{i}=\sum_{j=1}^{n}X_{j}R_{ij}=X_{j}R_{ij}\)
   列向量v的逆变可以写为 \(\hat{v}_{i}=(R^{-1})_{ij}v^{j}\)
   行向量w的协变可以写为 \(\hat{w}_{i}=w_{j}R_{ij}\)

4. 设角标（indices） \(i_{1},i_{2},...,i_{p}\) 为满足逆变的角标，p个，\(j_{1},j_{2},...,j_{q}\)为满足协变的角标，q个，则 \(T_{j_{1}...j_{q}}^{i_{1}...i_{p}}\) 为（p，q）型张量 T，阶数为p+q
   且在新旧坐标下，满足下面变换：
   \(T_{{j_{1}}‘...{j_{q}}‘}^{{i_{1}}‘...i_{p}‘}=(R^{-1})_{i_{1}{i_{1}}‘}...(R^{-1})_{i_{p}{i_{p}}‘}T_{{j_{1}}...{j_{q}}}^{{i_{1}}...i_{p}}R_{j_{1}{j_{1}}‘}...R_{j_{q}{j_{q}}‘}\)

未完待续。。。