强连通分量

计算机系DSA第二次Programming Assignment中第三题涉及到这个算法

【问题描述】

• 一个有向图中，有一些节点上有5角钱硬币，求问从指定的a顶点走到指定的b顶点，最多总共可以拿到多少硬币

【问题分析】

1. 一个有向图可以分解为强连通分量(Strongly Connected Component)，将每个强连通分量缩成一点之后会得到一张新图，是一个有向无环图。强连通分量中的每个点对两两之间有双向可达的路径。

2. 故此题等效于强连通分量缩点之后，包含起点的分量到包含终点的分量之间，规划一条可以获得硬币最多的路径。

【强连通量分解算法】
一、Kosaraju 算法

（一）算法内容

主要包含两次DFS

1. 第一次DFS，称作Visit遍历。从起点开始DFS，每DFS结束一个点，就将它push进一个stack中。于是在栈中，一定有性质：如果DFS树中有从a到达b的通路，那么a一定比b更靠近栈顶（压入栈时是tree_1 tree_2 tree_3 ... tree_n root的后续遍历顺序，root一定在栈顶）。

2. 从栈顶做第二次DFS，称作Assign遍历。这次遍历顾名思义是给每个节点指派一个代表其所属强连通分量的root。
   具体的，Assign(u, root)可以描述如下：

   /// Assign(u, root)
   if(u has been assigned root) return;
   u.root = root;
   for( v if exists_edge(v, u) ) {
   // exists_edge(v, u) 保证了v可以到达u
   // 此时必然有u可以到达v，因为：
   // 假设u不可以到达点v，那么按照Visit操作，必然先到达v，后到达u. 所以会先访问结束u，后访问结束v，这样在栈中应该v更靠近顶部，矛盾.
   Assign(v, root); // 既然u, v可以互相到达，那么都属于root下的强连通分量
   }

进行计算时，只需要

for(u in stack) {
    Assign(u, u);
}

即可以给每个顶点标记出所属的强连通分量

（二）Kosaraju算法的拓扑序性质

• 从缩点后的有向无环图上看，报告强连通分量的顺序就是拓扑排序“零入度算法”给出的图的拓扑排序序列的顺序。

（三）算法复杂度：
如果采用邻接表表示图，那么对图进行两次DFS遍历的复杂度是\(\Theta(V+E)\)
其中需要在第一次遍历时建立原图的反图——即图上所有边反向的图

二、Tarjan 算法

// To be updated

参考资料：
【1】 强连通分量：https://en.wikipedia.org/wiki/Strongly_connected_component
【2】 Kosaraju 算法：https://en.wikipedia.org/wiki/Kosaraju%27s_algorithm