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ECC椭圆曲线详解(有具体实例)

时间:2017-11-26 11:04:44      阅读:383      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:安全性   atom   crypto   images   nal   质数   之间   连续   运算   

原文: https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392505.html

前言

ECC英文全称"Ellipse Curve Cryptography"

与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同,ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥

ECC164位的密钥产生一个安全级,相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度,而且计算量较小,处理速度更快,存储空间和传输带宽占用较少。目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码,虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法。

从射影平面讲起

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。

  • 1.由任意一点到任意一点可作直线。

  • 2.一条有限直线可以继续延长。

  • 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。

  • 4.凡直角都相等。

  • 5.同一平面内一条直线a和另外两条直线b.c相交,若在a某一侧的两个内角的和小于两直角,则b.c两直线经无限延长后在该侧相交。

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《几何原本》只有在第29个命题

一条直线与两条平行直线相交,则所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角之和等于两直角

中才用到第五公设,即《几何原本》中可不依靠第五公设而推出前28命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论

1820年代,俄国喀山大学罗巴切夫斯基用“至少可以找到两条相异的直线,且都通过P点,并不与直线R相交”代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,他经过细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的几何体系。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。从罗氏几何学中,可以得出这样一个结论:逻辑上不矛盾的一些公理都有可能提供一种几何学。现存非欧几何的类型可以概括如下:

1.坚持第五公设,引出欧几里得几何。

2.“可以引最少两条平行线”为公设,罗氏几何(双曲几何)。

3.“一条平行线也不能引”为公设,黎曼几何(椭圆几何)

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左:双曲几何,即罗氏几何;中:欧几里德几何;右:椭圆几何,即黎曼几何

了解非欧式几何,就可以理解平行线的交点。

定义平行线相交于无穷远点P∞,使平面上所有直线都统一为有唯一的交点

性质:

  • 1.一条直线只有一个无穷远点;一对平行线有公共的无穷远点

  • 2.任何两条不平行的直线有不同的无穷远点(否则会造成有两个交点)

  • 3.平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线

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射影平面:平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面

射影平面点的定义
对普通平面上点(x,y),令x=X/Z,y=Y/Z,Z≠0,则投影为射影平面上的点(X:Y:Z)

求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标
∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)

∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0

即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标都是(1,2)在新的坐标体系下的坐标

(2) 求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点
∵ L1∥L2 所以有Z=0, X+2Y=0

∴坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0

即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0

椭圆曲线

一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯特拉斯方程(Weierstrass)所有点的集合

 

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  • 1椭圆曲线方程是一个齐次方程

  • 2曲线上的每个点都必须是非奇异的(光滑的),偏导数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不同为0

  • 3圆曲线的形状,并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程,类似于计算一个椭圆周长的方程故得名

椭圆曲线示例

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非椭圆曲线示例

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这两个方程都不是椭圆曲线,因为他们在(0:0:1)点处(即原点)没有切线,不满足椭圆曲线每个点都必须是非奇异的(光滑的),

椭圆曲线普通方程

椭圆曲线普通方程:

 

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无穷远点 (0, Y, 0)
平常点(x,y)斜率k:

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椭圆曲线阿贝尔群

我们已经看到了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢?这就要定义椭圆曲线的加法群,这里需要用到近世代数中阿贝尔群。

在数学中,群是一种代数结构,由一个集合以及一个二元运算所组成。已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求

  • 封闭性:∀a,b∈G,a*b ∈ G

  • 结合性: ∀a,b,c∈G ,有 (ab)c = a* (b*c)

  • 单位元:ョe∈G, ∀a ∈G,有ea = ae = a

  • 逆元: ∀a ∈G ,ョb∈G 使得 ab = ba = e

阿贝尔群除了上面的性质还满足交换律公理(ab)c = a* (b*c)

同样在椭圆曲线也可以定义阿贝尔群。

任意取椭圆曲线上两点P、Q(若P、Q两点重合,则作P点的切线),作直线交于椭圆曲线的另一点R‘,过R‘做y轴的平行线交于R,定义P+Q=R。这样,加法的和也在椭圆曲线上,并同样具备加法的交换律、结合律

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同点加法

若有k个相同的点P相加,记作kP

P+P+P=2P+P=3P

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有限域椭圆曲线

椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密;所以,我们必须把椭圆曲线变成离散的点,我们要把椭圆曲线定义在有限域上。
我们给出一个有限域Fp

  • Fp中有p(p为质数)个元素0,1,2,…, p-2,p-1

  • Fp的加法是a+b≡c(mod p)

  • Fp的乘法是a×b≡c(mod p)

  • Fp的除法是a÷b≡c(mod p),即 a×b^(-1)≡c (mod p),b-1也是一个0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p)

  • Fp的单位元是1,零元是 0

  • Fp域内运算满足交换律、结合律、分配律

椭圆曲线Ep(a,b),p为质数,x,y∈[0,p-1]

 

技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片y2=x3+ax+b(modp)

 

选择两个满足下列约束条件的小于p的非负整数a、b

 

技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片技术分享图片4a3+27b2≠0(modp)

 

Fp上的椭圆曲线同样有加法

  • 1.无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  • 2.P(x,y)的负元是 (x,-y mod p)= (x,p-y) ,有P+(-P)= O∞

  • 3.P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

x3≡k2-x1-x2(mod p)

y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1mod p

若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p

例题椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

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有限域椭圆曲线点的阶

如果椭圆曲线上一点P,存在最小的正整数n使得数乘nP=O∞ ,则将n称为P的阶
若n不存在,则P是无限阶的

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计算可得27P=-P=(3,13)

所以28P=O ∞ P的阶为28

这些点做成了一个循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序都是杂乱无章

椭圆曲线加密

考虑K=kG ,其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点,n为G的阶(nG=O∞ ),k为小于n的整数。则给定k和G,根据加法法则,计算K很容易但反过来,给定K和G,求k就非常困难。因为实际使用中的ECC原则上把p取得相当大,n也相当大,要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。这就是椭圆曲线加密算法的数学依据

点G称为基点(base point)

k(k<n)为私有密钥(privte key)

K为公开密钥(public key)

ECC保密通信算法

  • 1.Alice选定一条椭圆曲线E,并取椭圆曲线上一点作为基点G 假设选定E29(4,20),基点G(13,23) , 基点G的阶数n=37

  • 2.Alice选择一个私有密钥k(k<n),并生成公开密钥K=kG 比如25, K= kG = 25G = (14,6)

  • 3.Alice将E和点K、G传给Bob

  • 4.Bob收到信息后,将待传输的明文编码到上的一点M(编码方法略),并产生一个随机整数r(r<n,n为G的阶数) 假设r=6 要加密的信息为3,因为M也要在E29(4,20) 所以M=(3,28)

  • 5.Bob计算点C1=M+rK和C2=rG C1= M+6K= M+6*25*G=M+2G=(3,28)+(27,27)=(6,12) C2=6G=(5,7)

  • 6.Bob将C1、C2传给Alice

  • 7.Alice收到信息后,计算C1-kC2,结果就应该是点M C1-kC2 =(6,12)-25C2 =(6,12)-25*6G =(6,12)-2G =(6,12)-(27,27) =(6,12)+(27,2) =(3,28)

数学原来上能解密是因为:C1-kC2=M+rK-krG=M+rkG-krG-M

ECC技术要求

通常将Fp上的一条椭圆曲线描述为T=(p,a,b,G,n,h)p、a、b确定一条椭圆曲线(p为质数,(mod p)运算)G为基点,n为点G的阶,h是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的商的整数部分

参量选择要求:

  • p越大安全性越好,但会导致计算速度变慢
  • 200-bit左右可满足一般安全要求
  • n应为质数
  • h≤4;p≠n×h ;pt≠1(mod n) (1≤t<20)
  • 4a3+27b2≠0 (mod p)

ECC的应用

比特币系统选用的secp256k1中,参数为

p = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F = 2^256 − 2^32 − 2^9 − 2^8 − 2^7 − 2^6 − 2^4 − 1

a = 0, b = 7

G=(0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798, 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8)

n = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141

h = 01

ECC vs. RSA - 优缺点

优点

  • 安全性能更高

  • 160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度

  • 处理速度更快

  • 在私钥的处理速度上,ECC远 比RSA、DSA快得多

  • 带宽要求更低

  • 存储空间更小

  • ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多

缺点

    • 设计困难,实现复杂

    • 如果序列号设计过短,那么安全性并没有想象中的完善

ECC椭圆曲线详解(有具体实例)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/jiftle/p/7897208.html

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