标签：details 思想 idt 交换 偶数 isp lin statistic sed
转自：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8480430
线性时间选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）。
1、随机划分线性选择
线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。
程序清单如下：
1 //2d9-1 随机划分线性时间选择 2 #include "stdafx.h" 3 #include <iostream> 4 #include <ctime> 5 using namespace std; 6 7 int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2}; 8 9 template <class Type> 10 void Swap(Type &x,Type &y); 11 12 inline int Random(int x, int y); 13 14 template <class Type> 15 int Partition(Type a[],int p,int r); 16 17 template<class Type> 18 int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r); 19 20 template <class Type> 21 Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k); 22 23 int main() 24 { 25 for(int i=0; i<9; i++) 26 { 27 cout<<a[i]<<" "; 28 } 29 cout<<endl; 30 cout<<RandomizedSelect(a,0,8,3)<<endl; 31 } 32 33 template <class Type> 34 void Swap(Type &x,Type &y) 35 { 36 Type temp = x; 37 x = y; 38 y = temp; 39 } 40 41 inline int Random(int x, int y) 42 { 43 srand((unsigned)time(0)); 44 int ran_num = rand() % (y - x) + x; 45 return ran_num; 46 } 47 48 template <class Type> 49 int Partition(Type a[],int p,int r) 50 { 51 int i = p,j = r + 1; 52 Type x = a[p]; 53 54 while(true) 55 { 56 while(a[++i]<x && i<r); 57 while(a[--j]>x); 58 if(i>=j) 59 { 60 break; 61 } 62 Swap(a[i],a[j]); 63 } 64 a[p] = a[j]; 65 a[j] = x; 66 return j; 67 } 68 69 template<class Type> 70 int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r) 71 { 72 int i = Random(p,r); 73 Swap(a[i],a[p]); 74 return Partition(a,p,r); 75 } 76 77 template <class Type> 78 Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) 79 { 80 if(p == r) 81 { 82 return a[p]; 83 } 84 int i = RandomizedPartition(a,p,r); 85 int j = i - p + 1; 86 if(k <= j) 87 { 88 return RandomizedSelect(a,p,i,k); 89 } 90 else 91 { 92 //由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素 93 //因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。 94 return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j); 95 } 96 }
程序解释：利用随机函数产生划分基准，将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r]，使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j，则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中，如果k>j，则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意：由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素，因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。
在最坏的情况下，例如：总是找到最小元素时，总是在最大元素处划分，这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系，为O(n)(数学证明过程略过,可参考王云鹏论文《线性时间选择算法时间复杂度深入研究》)。
2、利用中位数线性时间选择
中位数：是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。
算法思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。
实现步骤：
(1)将所有的数n个以每5个划分为一组共
组，将不足5个的那组忽略，然后用任意一种排序算法，因为只对5个数进行排序，所以任取一种排序法就可以了。将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数，得到个中位数。
(2)取这个中位数的中位数，如果是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。
(3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比
个元素大。因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，有
个小于基准，中位数处于
，即个中位数中又有
个小于基准x。因此至少有
个元素小于基准x。同理基准x也至少比个元素小。而当n≥75时≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。
程序清单如下：
1 //2d9-2 中位数线性时间选择 2 #include "stdafx.h" 3 #include <ctime> 4 #include <iostream> 5 using namespace std; 6 7 template <class Type> 8 void Swap(Type &x,Type &y); 9 10 inline int Random(int x, int y); 11 12 template <class Type> 13 void BubbleSort(Type a[],int p,int r); 14 15 template <class Type> 16 int Partition(Type a[],int p,int r,Type x); 17 18 template <class Type> 19 Type Select(Type a[],int p,int r,int k); 20 21 int main() 22 { 23 //初始化数组 24 int a[100]; 25 26 //必须放在循环体外面 27 srand((unsigned)time(0)); 28 29 for(int i=0; i<100; i++) 30 { 31 a[i] = Random(0,500); 32 cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" "; 33 } 34 cout<<endl; 35 36 cout<<"第83小元素是"<<Select(a,0,99,83)<<endl; 37 38 //重新排序，对比结果 39 BubbleSort(a,0,99); 40 41 for(int i=0; i<100; i++) 42 { 43 cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" "; 44 } 45 cout<<endl; 46 } 47 48 template <class Type> 49 void Swap(Type &x,Type &y) 50 { 51 Type temp = x; 52 x = y; 53 y = temp; 54 } 55 56 inline int Random(int x, int y) 57 { 58 int ran_num = rand() % (y - x) + x; 59 return ran_num; 60 } 61 62 //冒泡排序 63 template <class Type> 64 void BubbleSort(Type a[],int p,int r) 65 { 66 //记录一次遍历中是否有元素的交换 67 bool exchange; 68 for(int i=p; i<=r-1;i++) 69 { 70 exchange = false ; 71 for(int j=i+1; j<=r; j++) 72 { 73 if(a[j]<a[j-1]) 74 { 75 Swap(a[j],a[j-1]); 76 exchange = true; 77 } 78 } 79 //如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束 80 if(false == exchange) 81 { 82 break ; 83 } 84 } 85 } 86 87 template <class Type> 88 int Partition(Type a[],int p,int r,Type x) 89 { 90 int i = p-1,j = r + 1; 91 92 while(true) 93 { 94 while(a[++i]<x && i<r); 95 while(a[--j]>x); 96 if(i>=j) 97 { 98 break; 99 } 100 Swap(a[i],a[j]); 101 } 102 return j; 103 } 104 105 106 template <class Type> 107 Type Select(Type a[],int p,int r,int k) 108 { 109 if(r-p<75) 110 { 111 BubbleSort(a,p,r); 112 return a[p+k-1]; 113 } 114 //(r-p-4)/5相当于n-5 115 for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++) 116 { 117 //将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置 118 //使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数 119 BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4); 120 Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]); 121 } 122 //找中位数的中位数 123 Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10); 124 int i = Partition(a,p,r,x); 125 int j = i-p+1; 126 if(k<=j) 127 { 128 return Select(a,p,i,k); 129 } 130 else 131 { 132 return Select(a,i+1,r,k-j); 133 } 134 }
运行结果如下：
标签：details 思想 idt 交换 偶数 isp lin statistic sed
原文地址：http://www.cnblogs.com/mhpp/p/7908155.html
