HDU 1575 && 1757 矩阵快速幂&&构造矩阵入门

时间：2014-09-16 10:29:20 阅读：271 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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HDU 1575

Tr A

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2912 Accepted Submission(s): 2167

Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

2

2 2

1 0

0 1

3 99999999

1 2 3 

4 5 6 

7 8 9

Sample Output

2

2686

一个矩阵快速幂搞定。。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <vector>
 6 #include <queue>
 7 using namespace std;
 8 #define MOD 9973
 9 typedef __int64 LL;
10 
11 struct node{
12     LL g[11][11];
13 };
14 
15 int n, m;
16 
17 node cheng(node a,node b){
18     node c;
19     int i, j, k;
20 
21     memset(c.g,0,sizeof(c.g));
22     for(i=0;i<n;i++){
23         for(k=0;k<n;k++){
24             if(!a.g[i][k]) continue;
25             for(j=0;j<n;j++)
26             c.g[i][j]=(c.g[i][j]+a.g[i][k]*b.g[k][j])%MOD;
27         }
28     }
29     
30     return c;
31 }
32 
33 node pow(node a,int mm){
34     node ans;
35     int i, j;
36     memset(ans.g,0,sizeof(ans.g));
37     for(i=0;i<n;i++) ans.g[i][i]=1;
38     while(mm){
39         if(mm&1) ans=cheng(ans,a);
40         a=cheng(a,a);
41 mm>>=1;
42     //    cout<<mm<<endl;
43     }
44     
45     return ans;
46 }
47 
48 main()
49 {
50     int t, i, j, k;
51     cin>>t;
52     while(t--){
53         node a;
54         scanf("%d %d",&n,&m);
55         for(i=0;i<n;i++){
56             for(j=0;j<n;j++)
57             scanf("%I64d",&a.g[i][j]);
58         }
59         
60         a=pow(a,m);
61         
62         LL ans=0;
63         for(i=0;i<n;i++){
64             ans=(ans+a.g[i][i])%MOD;
65         }
66         printf("%I64d\n",ans);
67     }
68 }

HDU 1757

A Simple Math Problem

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2751 Accepted Submission(s): 1628

Problem Description

Lele now is thinking about a simple function f(x).

If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .

Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.

Input

The problem contains mutiple test cases.Please process to the end of file.
In each case, there will be two lines.
In the first line , there are two positive integers k and m. ( k<2*10^9 , m < 10^5 )
In the second line , there are ten integers represent a0 ~ a9.

Output

For each case, output f(k) % m in one line.

Sample Input

10 9999

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

20 500 

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample Output

45

104

题目意思：

给出f[x]怎么得到，然后求f[k]%m。

思路：

这道题可以找通项公式来算，但是比较麻烦，而这道题很明显可以用矩阵相乘来算。

已知  当x<10  ,f[x]=x；

所以咱们可以由以下矩阵相乘算以后的项 ，如下：

|                |   |f[0]|    |f[1]|

|                |   |f[1]|    |f[2]|

|                |   |f[2]|    |f[3]|

|                |   |f[3]|    |f[4]|

|                | * |f[4]| =  |f[5]|

|                |   |f[5]|    |f[6]|

|                |   |f[6]|    |f[7]|

|                |   |f[7]|    |f[8]|

|                |   |f[8]|    |f[9]|

|                |   |f[9]|    |f[10]|

   （构造的矩阵a）     （矩阵b）  （矩阵c）

当x<10的时候直接输出即可，当x>10  ,a^(x-9)*b就可以得到f[x]了。

而a^(x-9)用矩阵快速幂可以快速算出，时间复杂度为O(logn)。

很容易得出构造的矩阵a为：

0,1,0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,1,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,1,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,1,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,1,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,1,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,1,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0,1,0

0,0,0,0,0,0,0,0,0,1

a9,a8,a7,a6,a5,a4,a3,a2,a1,a0

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

typedef __int64 LL;
int n;
LL MOD;

struct node{
   LL g[10][10];
};
int a[10];

node init(){
   node c;
   int i;
   memset(c.g,0,sizeof(c.g));
   for(i=0;i<9;i++) c.g[i][i+1]=1;
   for(i=0;i<10;i++) c.g[9][i]=a[9-i];
   
   
   return c;
}

node cheng(node A,node B){
   node C;
   memset(C.g,0,sizeof(C.g));
   int i, j, k;
   for(i=0;i<10;i++){              //这里有个小技巧，把原本俩矩阵相乘的代码中j和k的位置换一下 ，很明显的提高了时间效率 
       for(k=0;k<10;k++){
           if(!A.g[i][k]) continue;
           for(j=0;j<10;j++)
           C.g[i][j]=(C.g[i][j]+A.g[i][k]*B.g[k][j])%MOD;
       }
   }
   return C;
}

node pow(node c,int mm){
   node A;
   int i;
   memset(A.g,0,sizeof(A.g));
   for(i=0;i<10;i++) A.g[i][i]=1;
   while(mm){
       if(mm&1) A=cheng(A,c);
       c=cheng(c,c);
       mm>>=1;
   }
   return A;
}

main()
{
   int i, j, k;
   __int64 f[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};

   while(scanf("%d %I64d",&n,&MOD)==2){
       for(i=0;i<10;i++) scanf("%d",&a[i]);
       if(n<10) {printf("%I64d\n",f[n]);continue;}
       node c=init();  //构造矩阵 
           
       
       n=n-9;
       c=pow(c,n);    //矩阵快速幂优化矩阵相乘 
       LL ans=0;
       for(i=0;i<10;i++)
       ans=(ans+c.g[9][i]*f[i])%MOD;
       printf("%I64d\n",ans);
       
   }
}
 

HDU 1575 && 1757 矩阵快速幂&&构造矩阵入门

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原文地址：http://www.cnblogs.com/qq1012662902/p/3974201.html

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