2839: 集合计数
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Description
一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）
Input
一行两个整数N,K
Output
一行为答案。
Sample Input
3 2
Sample Output
6
HINT
【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；
选出k个重合元素的集合的方案数
首先是k个元素的选择C(n,k)
再考虑其他元素不交的方案m
容斥： m=任意选集合的方案数-C(n-k,1)交集至少为1的方案+C(n-k,2)交集至少为2的方案...
ans=C(n,k)*sum(C(n-k,i)*(2^(2^(n-i-k))-1)) 0<=i<=n-k
i=0是任意选的方案数
处理组合数可以用公式
其中涉及逆元，可以用递推求逆元数组
因为mod是一个质数，也可以考虑费马小定理
推荐blog
https://www.cnblogs.com/candy99/p/6613808.html
/* 选出k个重合元素的集合的方案数 首先是k个元素的选择C(n,k) 再考虑其他元素不交的方案m 容斥： m=任意选集合的方案数-C(n-k,1)交集至少为1的方案+C(n-k,2)交集至少为2的方案... ans=C(n,k)*sum(C(n-k,i)*(2^(2^(n-i-k))-1)) 0<=i<=n-k i=0是任意选的方案数 处理组合数可以用公式 其中涉及逆元，可以用递推求逆元数组 因为mod是一个质数，也可以考虑费马小定理 推荐blog https://www.cnblogs.com/candy99/p/6613808.html */ #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long #define N 1000100 #define mod 1000000007 using namespace std; int fac[N],n,k,now=2; ll quick(int a,int b){ ll c=1; while(b){ if(b&1)c=(c*a)%mod; a=(1ll*a*a)%mod;b>>=1; } return c; } int C(int n,int m){ int ans=fac[n]; ll div1=quick(fac[m],mod-2); ll div2=quick(fac[n-m],mod-2); ans=(ans*div1)%mod; ans=(ans*div2)%mod; return ans; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&k); fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod; n-=k;ll ans=0; for(int i=n;~i;i--){ (ans+=1ll*(i&1?-1:1)*C(n,i)*(now-1))%=mod; now=(1ll*now*now)%mod; } ans=(ans*C(n+k,k))%mod; ans<0?ans+=mod:1; cout<<ans; return 0; }
