快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。
首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
a11=a(2^0+2^1+2^3)
11的二进制是1011，11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1，因此，我们将a11转化为算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8
，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。
由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>>
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。
>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。
1 int poww(int a,int b){
2 int ans=1,base=a;
3 while(b!=0){
4 if(b&1!=0)
5 ans*=base;
6 base*=base;
7 b>>=1;
8 }
9 return ans;
10 }
代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base2，下一步再乘，就是base2*base2==base4，然后同理 base4*base4=base8，由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a11= a1*a2*a8，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意选择 long long还是mod某个数自己看着办。
矩阵快速幂也是这个道理，下面放一个求斐波那契数列的矩阵快速幂模板
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 const int mod = 10000;
8 const int maxn = 35;
9 int N;
10 struct Matrix {
11 int mat[maxn][maxn];
12 int x, y;
13 Matrix() {
14 memset(mat, 0, sizeof(mat));
15 for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
16 }
17 };
18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
19 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
20 c.x = a.x; c.y = b.y;
21 for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
22 for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
23 for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
24 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
25 c.mat[i][j] %= mod;
26 }
27 }
28 }
29 return;
30 }
31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
32 Matrix ans, base = a;
33 ans.x = a.x; ans.y = a.y;
34 while (z) {
35 if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
36 mat_mul(base, base, base);
37 z >>= 1;
38 }
39 a = ans;
40 }
41 int main() {
42 while (cin >> N) {
43 switch (N){
44 case -1: return 0;
45 case 0: cout << "0" << endl; continue;
46 case 1: cout << "1" << endl; continue;
47 case 2: cout << "1" << endl; continue;
48 }
49 Matrix A, B;
50 A.x = 2; A.y = 2;
51 A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
52 A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
53 B.x = 2; B.y = 1;
54 B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
55
56 mat_pow(A, N - 1);
57 mat_mul(A, B, B);
58 cout << B.mat[1][1] << endl;
59
60 }
61 return 0;
62 }
