1492: [NOI2007]货币兑换Cash
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小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：
.png)
假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：
.png)
注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。
Input
输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B
K、RateK，意义如题目中所述。
测试数据设计使得精度误差不会超过10^-7。
对于40%的测试数据，满足N ≤10；
对于60%的测试数据，满足N ≤1 000；
对于100%的测试数据，满足N ≤100 000；
对于40%的测试数据，满足N ≤10；
对于60%的测试数据，满足N ≤1 000；
对于100%的测试数据，满足N ≤100 000；
对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤10^9。
【提示】
1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足：
每次买进操作使用完所有的人民币；
每次卖出操作卖出所有的金券。
Output
只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。
Sample Input
3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000
HINT
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（转载请注明原文地址：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8028556.html ）
终于把CDQ维护凸壳学了……
那么既然题目已经给提示2了，我们就可以针对性的设$f[i]$为第i天获得的最多A券数，$ans[i]$为第i天的最大获利，那么我们要求的就是ans[n]了。
这个dp显然是可以$O(n^{2})$解决的……但是这样拿不了后面的分数。
然后你就想啊，肯定要优化啊……然后你就可以化出一个斜率的式子来。
对于$ans[i]$的决策，我们设两天j和k，j比k优秀的话，就会有
$(f[j]-f[k])*a[i]+(f[j]/rate[j]-f[k]/rate[k])*b[i]>0$
再设$g[i]=f[i]/rate[i]$（也就是第i天获得的最多B券数），为了处理不等式的符号我们设$f[j]<f[k]$
所以有：
$(g[j]-g[k])*b[i]>-(f[j]-f[k])*a[i]$
$(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])<-a[i]/b[i]$
(当然，实际情况是有$f[j]==f[k]$，即斜率不存在的情况存在的，到时候还要讨论。）
那么我们转化到一些坐标为(f[i],g[i])的二维平面的点上来。
我们建立一个这些点的上凸壳,然后在凸壳上二分最靠左的最后一个满足$k(point(x),point(x+1))<-a[i]/b[i]$的点x，
那么$x+1$就是最优秀的取值，也即本次决策点。
但是你发现这个f[i]不随i单调……那么我们考虑splay或者CDQ
打个J的splay啊
那么我们CDQ维护凸壳并且决策就好了……
具体实现是让$f[i]$有序之后按照正常方法建凸壳，然后让$-a[i]/b[i]$有序（我是从大到小排序），单调扫一边完成决策。
怎么让这俩有序呢……一是大力sort，复杂度$O(nlog^{2}n)$，一是归并排序，复杂度$O(nlogn)$
两种方法我都打了一下……感觉少个$logn$没快到哪去，也没长到哪去……
如果复杂度可行还是打$log^{2}$吧……
两份代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define eps 1e-8 6 #define N 100010 7 #define db double 8 #define inf 0x7fffffff 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps)) 10 int n,top,sta[N],id[N],tmp[N],idk[N],tmpk[N],match[N]; 11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N]; 12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;} 13 inline bool comp(const int &a,const int &b) 14 {return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] );} 15 inline double k(int a,int b) 16 { 17 if(sign(f[a]-f[b])==0)return sign(g[a]-g[b])*inf; 18 return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]); 19 } 20 inline bool compk(const int &a,const int &b) 21 {return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ;} 22 inline void CDQ(int l,int r) 23 { 24 if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;} 25 register int hd1,i,t,mi=l+r>>1,p=l-1,q=mi,h=l-1; 26 for(i=l;i<=r;++i) 27 if(match[idk[i]]<=mi)tmpk[++p]=idk[i]; 28 else tmpk[++q]=idk[i]; 29 for(i=l;i<=r;++i)idk[i]=tmpk[i]; 30 CDQ(l,mi); 31 for(top=0,i=l;i<=mi;++i) 32 { 33 while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top; 34 sta[++top]=id[i]; 35 } 36 for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i) 37 { 38 t=match[idk[i]]; 39 while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[t]/bk[t]) ) >=0 )++hd1; 40 ans[t]=max(ans[t],f[sta[hd1]]*ak[t]+g[sta[hd1]]*bk[t]); 41 } 42 for(i=mi+1;i<=r;++i) 43 t=match[idk[i]],ans[t]=max(ans[t],ans[t-1]),f[t]=ans[t]*rate[t]/(ak[t]*rate[t]+bk[t]); 44 CDQ(mi+1,r); 45 p=l,q=mi+1,h=l; 46 while(p<=mi&&q<=r) 47 if(comp(id[p],id[q]))tmp[h++]=id[p++]; 48 else tmp[h++]=id[q++]; 49 while(p<=mi)tmp[h++]=id[p++]; 50 while(q<=r)tmp[h++]=id[q++]; 51 for(i=l;i<=r;++i)id[i]=tmp[i]; 52 } 53 int main() 54 { 55 register int i,j; 56 scanf("%d%lf",&n,&ans[1]); 57 for(i=1;i<=n;++i) 58 scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]); 59 f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]); 60 for(i=1;i<=n;++i)id[i]=idk[i]=match[i]=i; 61 sort(match+1,match+n+1,compk); 62 CDQ(1,n); 63 printf("%.3f\n",ans[n]); 64 }
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define eps 1e-8 6 #define N 100010 7 #define db double 8 #define inf 0x7fffffff 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps)) 10 int n; 11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N]; 12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;} 13 int top,sta[N]; 14 int id[N],tmp[N],idk[N]; 15 inline bool comp(const int &a,const int &b) 16 { 17 return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] ); 18 } 19 inline double k(int a,int b) 20 { 21 if(sign(f[a]-f[b])==0) 22 return sign(g[a]-g[b])*inf; 23 return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]); 24 } 25 inline bool compk(const int &a,const int &b) 26 { 27 return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ; 28 } 29 inline void CDQ(int l,int r) 30 { 31 if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;} 32 register int hd1,i,mi=l+r>>1; 33 CDQ(l,mi); 34 for(i=mi+1;i<=r;++i)id[i]=i;sort(id+l,id+mi+1,comp); 35 for(i=mi+1;i<=r;++i)idk[i]=i;sort(idk+mi+1,idk+r+1,compk); 36 for(top=0,i=l;i<=mi;++i) 37 { 38 while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;//**** 39 sta[++top]=id[i]; 40 } 41 for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i) 42 { 43 while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[idk[i]]/bk[idk[i]]) ) >=0 )++hd1; 44 ans[idk[i]]=max(ans[idk[i]],f[sta[hd1]]*ak[idk[i]]+g[sta[hd1]]*bk[idk[i]]); 45 } 46 for(i=mi+1;i<=r;++i) 47 ans[i]=max(ans[i],ans[i-1]),f[i]=ans[i]*rate[i]/(ak[i]*rate[i]+bk[i]); 48 CDQ(mi+1,r); 49 } 50 int main() 51 { 52 register int i,j; 53 scanf("%d%lf",&n,&ans[1]); 54 for(i=1;i<=n;++i) 55 scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]); 56 f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]); 57 for(i=1;i<=n;++i)id[i]=i; 58 CDQ(1,n); 59 printf("%.3f\n",ans[n]); 60 }
