转载自http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54884437
定义
f(u,v)表示u->v这条边的实际流量
b(u,v)表示u->v这条边的流量下界
c(u,v)表示u->v这条边的流量上界
在一个无源汇的普通网络流图中，满足
- 0≤f(u,v)≤c(u,v)
- ∑f(u,i)=∑f(i,v)
分别称为流量限制条件和流量平衡条件
而在有上下界的网络流图中，由于多了流量下界b(u,v)的限制，满足
- b(u,v)≤f(u,v)≤c(u,v)
- ∑f(u,i)=∑f(i,v)
无源汇可行流
建图方法
将有上下界的网络流图转化成普通的网络流图
- 首先建立附加源点ss和附加汇点tt
- 对于原图中的边x->y，若限制为[b,c]，那么连边x->y，流量为c-b
- 对于原图中的某一个点i，记d(i)为流入这个点的所有边的下界和减去流出这个点的所有边的下界和
- 若d(i)>0，那么连边ss->i，流量为d(i)
- 若d(i)<0，那么连边i->tt，流量为-d(i)
求解方法
在新图上跑ss到tt的最大流
若新图满流，那么一定存在一种可行流
此时，原图中每一条边的流量应为新图中对应的边的流量+这条边的流量下界
证明
在原图中，假设每条边的实际流量为f(u,v)=b(u,v)+g(u,v)
其中g(u,v)≤c(u,v)−b(u,v)
我们可以将原图中的边改为上界为c(u,v)−b(u,v)的边，变成一个普通的网络流图
经过以上的改造，g(u,v)实际上是新图中边u->v的实际流量，原图中的实际流量f(u,v)=b(u,v)+g(u,v)
但是如果在这个新图中直接求可行流的话是错误的
举个栗子
原图 
按照上面的方法改造过的新图 
这个图的可行流为1，还原成原图的实际流量为 
很显然满足流量限制条件，但是不满足流量平衡条件
由于需要满足流量平衡条件
∑f(u,i)=∑f(i,v)
∑[b(u,i)+g(u,i)]=∑[b(i,v)+g(i,v)]
∑b(u,i)−∑b(i,v)=∑g(i,v)−∑g(u,i)
令d(i)=∑b(u,i)−∑b(i,v)
当d(i)>0时
∑g(i,v)=∑g(u,i)+d(i)
所以需要一条边流量为d(i)来补流 
当d(i)<0时
∑g(u,i)=∑g(i,v)+[−d(i)]
所以需要一条边流量为−d(i)来分流 
可以发现，添加的所有与附加源点或者附加汇点相连的边必须满流，原图才有可行流
证毕
例题ZOJ Problem Set - 2314Reactor Cooling
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define maxn 205 #define maxm 50000 struct Edge{ int next,to,w,fl; }edge[maxm]; int n,m,t,fi[maxn],flow[maxn],ans[maxm],depth[maxn],que[maxn],first,last; bool vis[maxn]; inline void add_edge(int u,int v,int w,int x){ edge[x].next=fi[u],fi[u]=x,edge[x].to=v,edge[x].w=w,edge[x].fl=0, edge[x^1].next=fi[v],fi[v]=x^1,edge[x^1].to=u,edge[x^1].w=edge[x^1].fl=0; } inline void init(){ memset(fi,0,sizeof(fi)),memset(flow,0,sizeof(flow)); } inline bool bfs(){//查找是否存在增广路 memset(vis,0,sizeof(vis)); depth[0]=1,first=last=0,que[last++]=0,vis[0]=1; while(first<last){ int x=que[first++],v; for(int i=fi[x];i;i=edge[i].next){ v=edge[i].to; if(!vis[v]&&edge[i].w)que[last++]=v,vis[v]=1,depth[v]=depth[x]+1;//注：流量为0的边不能算 } } return vis[t]; } int dfs(int u,int f){ if(u==t||!f)return f; int v,x,sum=0; for(int i=fi[u];i;i=edge[i].next){ v=edge[i].to; if(depth[v]==depth[u]+1){//增广路必须走向下一层 x=dfs(v,min(edge[i].w,f-sum)); sum+=x,edge[i].w-=x,edge[i^1].w+=x,edge[i].fl+=x,edge[i^1].fl-=x; } } return sum; } inline int dinic(){//dinic求最大流 int sum=0,x; while(bfs()){//将图分层 if(x=dfs(0,0x3f3f3f3f))sum+=x;//在分过层的图上进行dfs求增广路 } return sum; } inline void work(){ init(),scanf("%d%d",&n,&m),t=n+1; int u,v,w,se=(m<<1)+1,sum=0; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d%d",&u,&v,ans+i,&w), add_edge(u,v,w-ans[i],i<<1),flow[u]+=ans[i],flow[v]-=ans[i]; } for(int i=1;i<=n;i++){ if(flow[i]>0)add_edge(i,t,flow[i],++++se),sum+=flow[i];//若flow(i)>0，那么连边i->t，流量为flow(i) if(flow[i]<0)add_edge(0,i,-flow[i],++++se);//若flow(i)<0，那么连边s->i，流量为-flow(i) } if(dinic()==sum){//若新图满流，那么一定存在一种可行流 printf("YES\n"); for(int i=1;i<=m;i++){ printf("%d\n",ans[i]+edge[i<<1].fl);//每一条边的流量应为新图中对应的边的流量+这条边的流量下界 } } else printf("NO\n");//否则，不存在可行流 } int main(){ int t;scanf("%d",&t); while(t--)work(),printf("\n"); return 0; }
