题目： （题目来源：中国大学Mooc，程序设计与算法（二）算法基础视频课程）
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。（三角形的行数大于1小于等于100，数字为0-99）
解题思路：
用二维数组存放数字三角形。
D(r,j)：第r行第j个数字（r,j从1开始算）
MaxSum(r,j)：从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
问题：求MaxSum(1,1)
典型的递归问题。D(r,j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1,j+1)。故对于N行的三角形：
if(r==N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum(r,j) = Max { MaxSum(r+1,j) , MaxSum(r+1 , j+1) } + D(r,j)
递归代码：
#include "stdafx.h" #include <iostream> #include <algorithm> #define MAX 101 using namespace std; int D[MAX][MAX]; int n; int MaxSum(int i,int j) { if(i==n) return D[i][j]; int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); return max(x,y)+D[i][j]; } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { int i,j; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++) cin>>D[i][j]; cout<<MaxSum(1,1)<<endl; return 0; }
记忆型递归代码：
#include "stdafx.h" #include <iostream> #include <algorithm> #define MAX 101 using namespace std; int D[MAX][MAX]; int maxSum[MAX][MAX]; int n; int MaxSum(int i,int j) { if(maxSum[i][j]!=-1) return maxSum[i][j]; if(i==n) return D[i][j]; int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); return max(x,y)+D[i][j]; } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { int i,j; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++){ cin>>D[i][j]; maxSum[i][j] =-1; } cout<<MaxSum(1,1)<<endl; return 0; }
将递归转化为递推：
比如
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
从最下面一层 4 5 2 6 5开始往上面推，比如：max(4,5)+2=7，用新得到的7存放到原来2的位置，这样反复循环往上计算，最终得到30。
因此规律就是：maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j]。
30
23 21
20 13 10
7 12 10 10
4 5 2 6 5
递推代码：
#include "stdafx.h" #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX][MAX]; int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { int i,j; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) { cin>>D[i][j]; } } for(int i =1 ;i<=n;++i) { maxSum[n][i] = D[n][i]; } for(int i = n-1;i>=1;--i) { for(int j=1;j<=i;++j) { maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+D[i][j]; } } cout << maxSum[1][1]<<endl; return 0; }
运行结果示例：
