线性时不变系统的定义

线性时不变系统（LTI）是离散时间系统中特别重要的一种系统，该系统包含线性以及时不变性，用卷积来表征。

前面有讲过序列$x[n]$可以表示成幅度加权的延迟单位样本序列的和的形式

$x[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] }$

因此离散时间系统可以表示成如下形式

$y[n] = T\left\{ \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k] } \right\}$

如果系统是线性的，那么由于式子中的变量为$n$，根据叠加原理，$\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k] }$可以移出$T$

$y[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]T\{ \delta[n-k] \} }$

我们令$h_k[n] = T\{\delta[n-k]\}$，$h_k[n]$就是该线性系统对输入为$\delta[n-k]$所产生的输出，也就是系统对位于$n=k$处脉冲的响应，被称为脉冲响应（impulse response）。

如果系统是时不变的，这意味着如果$h[n]$是系统对$\delta[n]$的响应，那么$h[n-k]$就是系统对$\delta[n-k]$的响应，此时可以得到

$y[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] }$

上面的式子表明，对于一个线性时不变系统，如果我们知道其的全部输入$x[n]$以及该系统的脉冲响应$h[n]$，则能得到其全部输出$y[n]$。该式子一般被称为卷积和（convolution sum），并用下述操作符号表示

$y[n] = x[n]*h[n]$

LTI系统的两种解释/计算方式

如上一小节所述，线性时不变系统对应的算式为

$y[n] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] }$

单独分析每一个输入脉冲

LTI系统可以理解为：对于序列$x[n]$中的某一项脉冲$x[k_0]$，其在经过LTI系统后得到的脉冲响应为$x[k_0]h[n-k_0]$，把序列$x[n]$的所有脉冲的脉冲响应线性相加就得到最终输出$y[n]$。

假设有一个LTI系统，其输入序列$x[n]$、系统脉冲响应$h[n]$如下

可以看到$x[n]$有三个脉冲$x_{-2}[n],x_{0}[n],x_{3}[n]$，我们把这三个脉冲单独取出来，分别计算它们经过LTI系统后的的脉冲响应。

把$x_{-2}[n]$看作加权$x[-2]$与$\delta[n+2]$的乘积，按照LTI系统的时不变性质，$\delta[n+2]$的脉冲响应就是$h[n+2]$；又因为LTI系统的线性性质，可以得到$x_{-2}[n]$的脉冲响应为$x[-2]h[n+2]$。同理，剩下的脉冲响应如下

$x_{0}[n]$

$x_{3}[n]$

最后由于LTI系统具有线性性质，因此把所有的脉冲响应结果线性相加，即可得到$x[n]$经过系统后的输出$y[n]$

单独分析每一个输出脉冲

$y[n]$是系统的输出序列，对于某一时间点$n_0$的输出脉冲$y[n_0]$，我们可以通过卷积分析该输出脉冲如何通过计算得到，按照这种计算方法对所有时间点的输出脉冲进行计算，就能得到整个输出序列$y[n]$。

我们首先取某时间点$n_0$，其输出脉冲为

$y[n_0] = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n_0-k] }$

此时，式子当中的$n_0$为常量，$k$为变量，我们接下来观察$h[n_0-k]$是通过$h[k]$做何种变化得到的。

1. 令$h_1[k]=h[-k]$，即$h[k]$对$k=0$轴进行对称反转即可得到$h_1[k]$
2. 令$h_2[k]=h_1[k-n_0]$，即$h_1[k]$向右移动$n_0$个单位即可得到$h_2[k]$

$h_2[k] = h_1[k-n_0]=h[-(k-n_0)]=h[n_0-k]$

在知道输入$x[k]$的情况下，现在我们又得到了$h[n_0-k]$，如此一来就能通过上述式子的乘积求和计算得到$y[n_0]$。通过改变$n_0$，就能得到输出序列$y[n]$。

假设有一LTI系统的脉冲响应$h[n]$及其输入$x[n]$如下

当$n_0<0$的时候，$h[n_0-k]$与$x[k]$并没有相交，因此$y[n_0]=0$

从$n_0=0$开始，$h[n_0-k]$与$x[k]$部分相交，直到$n_0=4$开始完全相交，因此在这段时间内计算得到的$y[n_0]$呈上升趋势

在$n_0=4$时有最大值$y[4]$，然后$y[n_0]$呈下降趋势

最终得到的$y[n]$如下

线性时不变系统的性质

交换律、分配律、结合律

LTI系统由离散时间卷积来定义，而卷积满足交换律、分配律、结合律。

交换律推导：

$\begin{align*}
y[n] &=x[n]*h[n] \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[n-m]h[m]  \\
&=\sum_{p=-\infty}^{\infty}x[p]h[n-p] \quad letting\ p=n-m \\
&=\sum_{p=-\infty}^{\infty}h[n-p]x[p] \\
&=h[n]*x[n]
\end{align*}$

分配律推导：

$\begin{align*}
y[n] &=x[n]*h[n] \\
&=x[n]*(h_1[n]+h_2[n]) \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[n-m](h_1[m]+h_2[m])  \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[n-m]h_1[m]+\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[n-m]h_2[m] \\
&=x[n]*h_1[n]+x[n]*h_2[n]
\end{align*}$

结合律推导：

$\begin{align*}
y[n] &=(x[n]*h_1[n])*h_2[n] \\
&=z[n]*h_2[n] \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}z[n-m]h_2[m] \\
&=\sum_{p=-\infty}^{\infty}z[p]h_2[n-p] \quad letting\ p=n-m\\
&=\sum_{p=-\infty}^{\infty}\left ( \sum_{i=-\infty}^{\infty}x[p-i]h_1[i] \right )h_2[n-p] \\
&=\sum_{p=-\infty}^{\infty}\left ( \sum_{q=-\infty}^{\infty}x[q]h_1[p-q] \right )h_2[n-p] \quad letting\ q=p-i\\
&=\sum_{q=-\infty}^{\infty}x[q]\left ( \sum_{p=-\infty}^{\infty}h_1[p-q]h_2[n-p] \right ) \\
&=\sum_{q=-\infty}^{\infty}x[q]\left ( \sum_{m=-\infty}^{\infty}h_1[n-q-m]h_2[m] \right ) \\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-k]\left ( \sum_{m=-\infty}^{\infty}h_1[k-m]h_2[m] \right ) \quad letting\ k=n-q \\
&=x[n]*(h_1[n]*h_2[n])
\end{align*}$

因此LTI系统有如下性质：

• 一个LTI系统在输入为$x[n]$和单位脉冲响应为$h[n]$，与输入为$h[n]$和单位脉冲响应为$x[n]$将得到相同的输出。
• 一个LTI系统如果由并联的两个部分组成，其单位脉冲响应分别为$h_1[n],h_2[n]$，那么整个系统的单位脉冲响应等价于$h[n]=h_1[n]+h_2[n]$。
• 一个LTI系统如果由级联的两个部分组成，其单位脉冲响应分别为$h_1[n],h_2[n]$，那么整个系统的单位脉冲响应等价于$h[n]=h_1[n]*h_2[n]$。

稳定性

认为一个稳定系统就是对每个有界的输入均产生一个有界的输出。当单位脉冲响应是绝对可加时，LTI系统才是稳定的，即

$B_h=\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]|<\infty }$

证明：

$\displaystyle{ |y[n]|=\left |  \sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k] \right |\leqslant\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]||x[n-k]| }$

如果$x[n]$是有界的，则存在一个足够大的数$B_x$，使得

$|x[n]|\leqslant B_x$

用$B_x$替换$|x[n-k]|$可以得到一个更大的数值，即

$|y[n]|\leqslant B_xB_h$

因此，当单位脉冲响应是绝对可加时，LTI系统是稳定的。

因果性

因果系统就是其输出$y[n_0]$仅仅与$n\leqslant n_0$时的输入样本$x[n]$有关的系统，如果一个LTI系统是因果系统，则该系统应满足

$h[n]=0, \quad n<0$

证明：

设某时刻$n_1$的输出为$y[n_1]$，有

$\begin{align*}
y[n_1] &= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n_1-k] \\
&=\sum_{k=-\infty}^{n_1}x[k]h[n_1-k]+\sum_{k=n_1+1}^{\infty}x[k]h[n_1-k]
\end{align*}$

因为是因果系统，即$y[n_1]$与输入序列$x[k]$的$k>n_1$部分无关，即

$\displaystyle{ \sum_{k=n_1+1}^{\infty}x[k]h[n_1-k] =0}$

令$m=n_1-k,k=n_1-m$，代入上式，得到

$\displaystyle{ \sum_{m=-\infty}^{-1}x[n_1-m]h[m]=0 }$

其中$x[m]$为可变的输入序列，要使上式成立，则需要

$h[m]=0,\quad m<0$

级联系统的某些应用

LTI系统用卷积来表征，并且从前一小节我们得知级联系统由离散时间卷积来表征。两个序列之间的卷积运算会带来很多涉及系统问题的简化。

一个很常用的应用就是将一个移位样本序列与任何$x[n]$进行卷积，其结果只是将$x[n]$做相同的移位：

$x[n] * \delta[n-n_d] = \delta[n-n_d] * x[n] = x[n-n_d]$

这种移位的应用在LTI系统互联与分析中也常常用到，如一个前向差分与一个理想延迟（延迟一个样本）级联就能得到一个后向差分：

$\begin{align*}
h[n] &=(\delta[n+1]-\delta[n])*\delta[n-1] \\
&=\delta[n-1]*(\delta[n+1]-\delta[n]) \\
&=\delta[n]-\delta[n-1]
\end{align*}$

另外，级联系统引入了逆系统（inverse system）的概念，

$h[n] * h_i[n] = h_i[n] * h[n] = \delta[n]$

如果两个系统级联后得到的是$\delta[n]$，则这两个系统互为逆系统。