刷题11 矩形覆盖问题

描述：  我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路： 这种题开始肯定要找规律， 看了看， n = 1时， 一种方法； n = 2时， 两种方法； n = 3时，三种方法； n = 4时， 五种方法； ... ； 很自然想起了斐波那契数列。

证明一下： 

设 n 列一共有 f(n) 种无重叠的覆盖方法，先上一个自己画的图方便理解。

1、对于n > 2的情况：首先我们可以知道小矩形是2 * 1，整个矩形为2 * n，所以我们在填充的时候只有横着填充跟竖着填充。 所以思路就是将从第1列填充到第n列的情况分解.

怎么分解呢，然后我又画了下面这个图， 方便理解。

我想求从A到G总共多少中走法，咋求呢？   我先分解， 在第一步我有两种走法， 要么走B要么走C，然后B往后又有两种走法，C往后又有...

所以，说这么多，对于矩形填充所有情况， 那么先走第一步， 两种情况：竖着放或者横着放。 

（1）对于第一步竖着放：  直接占据一竖列就OK了， 然后还剩下 n-1 列， 而n-1 列有 f(n-1) 种填充方法， 所以第一步竖着放总共有 1 * f(n-1) = f(n-1) 种方法；

（2）对于第一步横着放：  先放一个 2 * 1 小矩形，让它占据第一行第一、二列， 此时还剩下 n-2 列加上一个第二行第一、二列的区域。 我们难以用科学的方法表示出来， 怎么办？那就继续分解。

对于第二行第一、二列的区域，我们只存在唯一方式就是横着放上小矩形， 这样操作之后还剩下 n-2 列有 f(n-2) 种填充方法， 所以第一步横着放总共有 1 * 1 * f(n-2) = f(n-2) 种方法。

那么好了， 将这两个合并就是n列一共的方法数了， 即 f(n-1) + f(n-2) = f(n) 。看到这个式子是不是很熟， 对， 斐波那契数列。

2、那好，现在考虑到 n = 2 的情况， 不用 f(n-1) + f(n-2) = f(n) 这个公式， 更不要直接穷举， 用1中的思想考虑，可以得到：  f(2) = 1 + 1 * 1 = 2 。

 那现在可以写代码了：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int rectCover(int number) {
 4         if(number < 3)
 5             return number;
 6         int first = 1;
 7         int second = 2;
 8         for(int i = 3; i <= number; i++)
 9         {
10             second = first + second;
11             first = second - first;
12         }
13         return second;
14     }
15 };

顺便想一下， 假如用 3 * 1 的小矩形填充 3 * n 的大矩形呢？

我们还是用 f(n) 表示 n 列的所有方法，第一步还是分两种情况：

（1）横着放：  横着放占了三列， 剩下 n-3 列， 总共情况为 1 * 1 * f(n-3) = f(n-3)；

（2）竖着放： 竖着放了一列， 剩下 n-1 列， 总共情况为 1 * f(n-1) = f(n-1) 。

所以 f(n) = f(n-1) + f(n-3) 。

接下来还有其他变形都OK了。