相机标定问题已经是比较成熟的问题，OpenCV中提供了比较全面的标定、矫正等函数接口。但是如果我想通过一张矫正好的图像，想获得原始的畸变图，却没有比较好的方法，这里讨论了点的畸变和反畸变问题。
1.问题提出：给定一些已经经过矫正的二维点集，如何获得矫正前带畸变的二维点集？
2.理论基础：理论基础无它，就是相机的小孔成像模型和畸变参数模型，
这里需要注意，k1，k2等为径向畸变参数，p1，p2为切向畸变参数，s1，s2为薄棱镜畸变参数（常忽略），x‘为理想的无畸变的图像像素坐标或者点(Points)坐标，x‘‘是带透镜畸变参数的图像像素或点坐标，上述公式详尽表达了它们之间的关系。通俗点讲，x‘,y‘是指通过针孔模型求出来的理想点的位置，x‘‘,y‘‘是其真实位置，所以要通过后面的畸变模型进行近似，获得x‘‘,y‘‘的值，但是在实际应用时，x‘‘,y‘‘通常是已知的，即我们通过相机获得了带畸变的图像，但是我们需要反算回去得到x‘,y‘，OpenCV提供了这样的过程函数接口，可以直接使用。
而这里想做的是通过矫正图得到畸变图点，即通过x‘，y’得到x‘‘,y‘‘，所以只要通过上述公式进行求解就行了。
3.求解过程：
直接给出相关程序：
void myDistortPoints(const std::vector<cv::Point2d> & src, std::vector<cv::Point2d> & dst, const cv::Mat & cameraMatrix, const cv::Mat & distortionCoeff) { dst.clear(); double fx = cameraMatrix.at<double>(0, 0); double fy = cameraMatrix.at<double>(1, 1); double ux = cameraMatrix.at<double>(0, 2); double uy = cameraMatrix.at<double>(1, 2); double k1 = distortionCoeff.at<double>(0, 0); double k2 = distortionCoeff.at<double>(0, 1); double p1 = distortionCoeff.at<double>(0, 2); double p2 = distortionCoeff.at<double>(0, 3); double k3 = distortionCoeff.at<double>(0, 4); double k4;// double k5;// double k6;// for (unsigned int i = 0; i < src.size(); i++) { const cv::Point2d & p = src[i];
//获取的点通常是图像的像素点，所以需要先通过小孔相机模型转换到归一化坐标系下； double xCorrected = (p.x - ux) / fx; double yCorrected = (p.y - uy) / fy; double xDistortion, yDistortion;
//我们已知的是经过畸变矫正或理想点的坐标； double r2 = xCorrected*xCorrected + yCorrected*yCorrected; double deltaRa = 1. + k1 * r2 + k2 * r2 * r2 + k3 * r2 * r2 * r2; double deltaRb = 1 / (1. + k4 * r2 + k5 * r2 * r2 + k6 * r2 * r2 * r2); double deltaTx = 2. * p1 * xCorrected * yCorrected + p2 * (r2 + 2. * xCorrected * xCorrected); double deltaTy = p1 * (r2 + 2. * yCorrected * yCorrected) + 2. * p2 * xCorrected * yCorrected;
//下面为畸变模型； xDistortion = xCorrected * deltaRa * deltaRb + deltaTx; yDistortion = yCorrected * deltaRa * deltaRb + deltaTy;
//最后再次通过相机模型将归一化的坐标转换到像素坐标系下； xDistortion = xDistortion * fx + ux; yDistortion = yDistortion * fy + uy; dst.push_back(cv::Point2d(xDistortion, yDistortion)); } }
4.存在的问题：经过上面的过程，我们就获得了在畸变原图中点的坐标，但是有一点值得注意的是，我们将获得的畸变图中的点经过OpenCV提供的UndistortPoints()函数进行矫正的时候，不能得到原始的点，即这里存在误差。这种误差是由于自己写的畸变模型和OpenCV提供的畸变函数模型不同导致的，有兴趣的可以查看OpenCV源码，你会发现后面关于 r 的平方和 r 的四次方，六次方在OpenCV中都是平方项，所以计算结果存在误差，这里有两个解决办法，第一是修改上述代码，统一改成平方项；第二就是自己实现UndistortPoints函数：
void myUndistortPoints(const std::vector<cv::Point2d> & src, std::vector<cv::Point2d> & dst, const cv::Mat & cameraMatrix, const cv::Mat & distortionCoeff) { dst.clear(); double fx = cameraMatrix.at<double>(0, 0); double fy = cameraMatrix.at<double>(1, 1); double ux = cameraMatrix.at<double>(0, 2); double uy = cameraMatrix.at<double>(1, 2); double k1 = distortionCoeff.at<double>(0, 0); double k2 = distortionCoeff.at<double>(0, 1); double p1 = distortionCoeff.at<double>(0, 2); double p2 = distortionCoeff.at<double>(0, 3); double k3 = distortionCoeff.at<double>(0, 4); double k4; double k5; double k6; for (unsigned int i = 0; i < src.size(); i++) { const cv::Point2d & p = src[i];
//首先进行坐标转换； double xDistortion = (p.x - ux) / fx; double yDistortion = (p.y - uy) / fy; double xCorrected, yCorrected; double x0 = xDistortion; double y0 = yDistortion;
//这里使用迭代的方式进行求解，因为根据2中的公式直接求解是困难的，所以通过设定初值进行迭代，这也是OpenCV的求解策略； for (int j = 0; j < 10; j++) { double r2 = xDistortion*xDistortion + yDistortion*yDistortion; double distRadialA = 1 / (1. + k1 * r2 + k2 * r2 * r2 + k3 * r2 * r2 * r2); double distRadialB = 1. + k4 * r2 + k5 * r2 * r2 + k6 * r2 * r2 * r2; double deltaX = 2. * p1 * xDistortion * yDistortion + p2 * (r2 + 2. * xDistortion * xDistortion); double deltaY = p1 * (r2 + 2. * yDistortion * yDistortion) + 2. * p2 * xDistortion * yDistortion; xCorrected = (x0 - deltaX)* distRadialA * distRadialB; yCorrected = (y0 - deltaY)* distRadialA * distRadialB; xDistortion = xCorrected; yDistortion = yCorrected; }
//进行坐标变换； xCorrected = xCorrected * fx + ux; yCorrected = yCorrected * fy + uy; dst.push_back(cv::Point2d(xCorrected, yCorrected)); } }
上面的迭代求解过程是值得学习的地方，因为所求的x本身就被包含在r中，所以直接求解变得几乎不可能，而上面的迭代方法提供了一种解决方法，当迭代次数足够多时，求解接近精确值。
5.结果展示：下面给出通过设定好相机的畸变参数和内参矩阵，给定一幅带有点线的原图，通过3生成畸变图，然后再通过4反算原图的过程：
注：上面的线是在一个全黑的Mat矩阵中画点生成的。
