证明碰撞集问题(Hitting Set)是NP-complete

Problem

In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, ... , Sn} and a budget b, and we wish to find a set H of size ≤ b which intersects every Si, if such an H exists. In other words, we want H ∩ Si ≠ ? for all i.

Show that HITTING SET is NP-complete.

Solution

1. 首先，HITTING SET是一个NP问题。

   对于H中的所有元素，和Si逐个比较是否有交集并且大小小于等于b，这个操作显然是多项式时间复杂度的问题。

2. 其次，Vertex Cover是一个NP难问题。

   由书本P241、242，可知最小顶点覆盖问题（Vertex Cover）是NP难问题。

3. 最后，将Vertex Cover归约到HITTING SET，即可证明碰撞集问题是一个NP完全问题。

   假设要求图G(V, E) 的Vertex Cover，可以建立一个HITTING SET实例，其中S1, S2, ... , Sn是图G的各条边，比如：S1={v1, v2}，这样可以构造出|E|个集合，求图G的Vertex Cover，可以转化成求这|E|个集合的HITTING SET。Vertex Cover的顶点就是H的元素，Vertex Cover的个数即为b。