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二分图最大匹配的一些证明

时间:2017-12-31 14:12:55      阅读:214      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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①最小路径覆盖: 

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。 

路径覆盖和二分图匹配的关系:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数

上述公式中最大匹配数是这样来的: 

对于G中每一个节点x,建立节点x1,x2。若x- >y存在边,则x1与y2之间连一条无向边,求这个二分图的最大匹配数即可。

证明如下:

首先,若最大匹配数为0,则二分图中无边,也就是说有向图G中不存在边,那么

显然:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数=|G|-0=|G|。 

若此时增加一条匹配边x1--y2,则在有向图|G|中,x、y在同一条路径上,最小路径覆盖数减少一个。

继续增加匹配边,每增加一条,最小路径覆盖数减少一个,则公式:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数得证。

 

②最小点覆盖

二分图中,选取最少的点数,使这些点和所有的边都有关联(把所有的边的覆盖),叫做最小点覆盖。

最小点覆盖数 = 最大匹配数

证明:转载自:Matrix67

二分图最大匹配的König定理及其证明 

 

    如果你看不清楚第二个字母,下面有一个大号字体版本:

二分图最大匹配的König定理及其证明

    本文将是这一系列里最短的一篇,因为我只打算把König定理证了,其它的废话一概没有。
    以下五个问题我可能会在以后的文章里说,如果你现在很想知道的话,网上去找找答案:
    1. 什么是二分图;
    2. 什么是二分图的匹配;
    3. 什么是匈牙利算法;(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
    4. König定理证到了有什么用;
    5. 为什么o上面有两个点。

    König定理是一个二分图中很重要的定理,它的意思是,一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖,我也在这里说一下:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如,下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道,但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此,我在这里写一下这个定理的证明,希望对大家有所帮助。

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    假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配(假设它等于M),下面给出的方法可以告诉我们,选哪M个点可以覆盖所有的边。
    匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点,走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现”的路(交错轨,增广路)。但是,现在我们已经找到了最大匹配,已经不存在这样的路了。换句话说,我们能寻找到很多可能的增广路,但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号:从右边的所有没有匹配过的点出发,按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点(最后走出的路径是很多条不完整的增广路)。那么这些点组成了最小覆盖点集:右边所有没有打上记号的点,加上左边已经有记号的点。看图,右图中展示了两条这样的路径,标记了一共6个点(用 “√”表示)。那么,用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
    首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去(否则就找到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,同时右端点是没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
    其次,为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢?答案同样简单。不可能存在某一条边,它的左端点是没有标记的,而右端点是有标记的。原因如下:如果这条边不属于我们的匹配边,那么左端点就可以通过这条边到达(从而得到标记);如果这条边属于我们的匹配边,那么右端点不可能是一条路径的起点,于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的(想想匹配的定义),左端点就应该有标记。
    最后,为什么这是最小的点覆盖集呢?这当然是最小的,不可能有比M还小的点覆盖集了,因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点(再次回到匹配的定义)。

 

③最大独立集=总数-最小覆盖集证明:

(摘自:http://m.blog.csdn.NET/article/details?id=50011363

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  上图,我们用两个红色的点覆盖了所有边。我们证明的前提条件是已经达到最小覆盖。

即条件1.已经覆盖所有边,条件2.所用的点数最小

  首先我们来证明蓝色点组成的是一个独立集:如果有两个蓝色点间有边相连,那么这条

边则没有被覆盖,则与条件1矛盾。因此是独立集。

  再来证明这个独立集最大: 如果我们要再增加这个独立集中的点,则需要把某个红点变

成蓝点。而由最小覆盖数=最大匹配数的证明我们知道,每一个红点是最大匹配中的一

个匹配点,也就是说每个红点至少连接了一条边。因此当我们将某个红点变成蓝点

时,我们需要牺牲的蓝点的个数是大于等于1的。也就是说,我们最多只能找到数量相等

的其他独立集,而无法找到数量更大的。因此蓝色点集必定为最大独立集。 蓝色点数 =

总点数 - 红色点数,即最大独立集=总数-最小覆盖集。

 

由上述定理,同理可知: 

最大独立集+最小点权覆盖=总权值。

 又∵最小点权覆盖=最小割 

    ∴最大独立集=最小割。

 

二分图最大匹配的一些证明

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原文地址:https://www.cnblogs.com/five20/p/8157529.html

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