高精度——压位的思想及应用

本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。
这里我们简单介绍一下高精度的计算。
我们都知道在Cpp/C/Pas等语言中，整数最大能储存\(2^{64} -1\)，超过这个范围就表示不了了（不包括个别支持int128的编译器）。这个时候，我们如果希望把这些整数存储下来，就需要用到高精度的算法和思想。高精度就是像小学学过的竖式运算一样的（除法除外）。然后就直接模拟即可。除法一位一位地试商即可。
接下来我们发现就是一位一位地加减很慢，我们考虑如何把它加快速度（减小常数）。如果你有学习过关于bitset的相关知识，那你肯定对压位的方法不陌生。我们把十进制位中的每4~8位并在一起（笔者一般压4位，因为乘法时不会超过int的范围），然后照样加减，最后并不影响答案，但是要注意输出。对于除法，我们此时发现枚举\(10^4\)到\(10^8\)太慢了，注意到单调性，于是我们考虑二分试商，这样就也可以在\(log_2 BASE\)的时间之内求出来了。
注意初始化、赋值和输出。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef int ll;

struct bign//big number
{
//init
    static const int BASE=(int)1e4,POW=4;
    static const int MAXLEN=20010;
    ll num[MAXLEN];//num[0]=length of the big number
    bign(int tp=0)
    {
        memset(num,tp,sizeof(num));
    }
    void clear()
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
    }
    bool operator=(const char ch[])
    {
        int len=strlen(ch);
        for(int i=0;i<len;i++)
            num[(len-i-1)/POW+1]=num[(len-i-1)/POW+1]*10+ch[i]-‘0‘;
        num[0]=(len-1)/POW+1;
    }
    
//compare
    //big number
    bool operator<(const bign &rsh)const
    {
        if(num[0]!=rsh.num[0])
            return num[0]<rsh.num[0];
        for(int i=num[0];i;i--)
        {
            if(num[i]!=rsh.num[i])
                return num[i]<rsh.num[i];
        }
        return 0;
    }
    //int/long long 
    ll max(ll _x,ll _y)
    {
        return _x>_y?_x:_y;
    }
    ll min(ll _x,ll _y)
    {
        return _x<_y?_x:_y;
    }
    
//operator
    //add
    void operator+=(const bign &rsh)
    {
        num[0]=max(num[0],rsh.num[0]);
        for(int i=1;i<=num[0];i++)
        {
            num[i]+=rsh.num[i];
            num[i+1]+=num[i]/BASE;
            num[i]%=BASE;
        }
        while(num[num[0]+1]>0)
            num[0]++;
    }
    bign operator+(const bign &rsh)const
    {
        bign res=*this;res+=rsh;
        return res;
    }
    //subtract
    void operator-=(const bign &rsh)
    {
        for(int i=1;i<=num[0];i++)
        {
            num[i]-=rsh.num[i];
            while(num[i]<0)
            {
                num[i]+=BASE;
                num[i+1]--;
            }
        }
        while(num[num[0]]<=0&&num[0]>0)
            num[0]--;
    }
    bign operator-(const bign &rsh)const
    {
        bign res=*this;res-=rsh;
        return res;
    }
    //multiply
    bign operator*(const bign &rsh)const
    {
        bign res;
        res.num[0]=num[0]+rsh.num[0]-1;
        for(int i=1;i<=num[0];i++)
            for(int j=1;j<=rsh.num[0];++j)
                res.num[i+j-1]+=num[i]*rsh.num[j];
        for(int i=1;i<=res.num[0];i++)
        {
            res.num[i+1]+=res.num[i]/BASE;
            res.num[i]%=BASE;
        }
        while(res.num[res.num[0]+1]>0)
        {
            res.num[0]++;
            res.num[res.num[0]+1]+=res.num[res.num[0]]/BASE;
            res.num[res.num[0]]%=BASE;
        }
        return res;
    }
    void operator*=(const bign &rsh)
    {
        bign res=*this;res=res*rsh;
        *this=res;
    }
    //divide
    void operator/=(const ll &rsh)
    {
        for(int i=num[0];i>1;i--)
        {
            num[i-1]+=(num[i]%rsh*BASE);
            num[i]/=rsh;
        }
        num[1]/=rsh;
        while(num[0]>0&&num[num[0]]<=0)
            num[0]--;
    }
    bign operator/(const ll &rsh)const
    {
        bign temp=*this ;
        temp/=rsh;
        return temp;
    }
    
    void operator/=(const bign &rsh)
    {
        bign l,r=*this,tmp_one;tmp_one="1";
        l.num[0]=1;
        while(l<r)
        {
            bign mid=(l+r+tmp_one)/2;
            if(*this<(rsh*mid))
                r=mid-tmp_one;
            else
                l=mid;
        }
        *this=l;
    }
    bign operator/(const bign &rsh)const
    {
        bign res=*this;res/=rsh;
        return res;
    }
    //mod
    void operator%=(const bign &rsh)
    {
        bign res=*this;
        res=res-res/rsh*rsh;
        *this=res;
    }

    bign operator%(const bign &rsh)const
    {
        bign res=*this;res%=rsh;
        return res;
    }
};
ostream&operator<<(ostream &out,const bign &x)
{
    printf("%d",x.num[x.num[0]]);
    for(int i=x.num[0]-1;i;i--)
        printf("%04d",x.num[i]);
    return out;
}