一、定义
二维线段树，即用线段树维护一个矩阵
有两种实现方式：
1、原一维线段树的基础上，每一个节点都是一个线段树，代表第二维
下图是一个4*4矩阵
2、四分法转化为一维线段树
两种方法的空间复杂度都是n*n*log^2
第一种方法单次操作的时间复杂度是log^2，第二种方法最差可以退化到n
一维线段树的标记思想，在第一种方法中，可以用于二维线段树的第二维，不可以用于二维线段树的第一维
第二种方法本质上是四叉的一维线段树，
在此只介绍第一种方法
二、基本操作
1、单点修改+矩阵查询
单次访问一个位置，查询一个矩阵的总访问次数
访问位置（x，y）
所有第一维包含x的都包含位置（x，y），访问次数都要加1
所以从根到找到第一维包含x所经过的所有节点，在里面找到第二维包含y的节点，访问次数加1
sum[i][j] 表示的是这个节点所包含的矩阵的所有位置的访问次数之和
第一维：
void changex(int kx,int l,int r) { changey(kx,1,1,h); if(l==r) return; int mid=l+r>>1; if(x<=mid) changex(kx<<1,l,mid); else changex(kx<<1|1,mid+1,r); }
对于第二维的修改有两种写法
①、从根往下找经过的节点 f访问次数全部+1
因为此时已经确定了第一维包含，从根往下找y，所经过的区间一定包含y
void changey(int kx,int ky,int l,int r) { sum[kx][ky]++; if(l==r) return; int mid=l+r>>1; if(y<=mid) changey(kx,ky<<1,l,mid); else changey(kx,ky<<1|1,mid+1,r); }
②、在第二维中找到y，访问次数+1，祖先节点通过左右子节点的合并修改
void changey(int kx,int ky,int l,int r) { if(l==r) { sum[kx][ky]++; return; } int mid=l+r>>1; if(y<=mid) changey(kx,ky<<1,l,mid); else changey(kx,ky<<1|1,mid+1,r); sum[kx][ky]=sum[kx][ky<<1]+sum[kx][ky<<1|1]; }
查询：
查询左上角为（xl，yl），右下角为（xr，yr）的矩阵的所有位置的访问次数之和
void queryy(int kx,int ky,int l,int r)
{
if(l>=yl && r<=yr)
{
cnt+=sum[kx][ky];
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(yl<=mid) queryy(kx,ky<<1,l,mid);
if(yr>mid) queryy(kx,ky<<1|1,mid+1,r);
}
void queryx(int kx,int l,int r)
{
if(l>=xl && r<=xr)
{
queryy(kx,1,1,h);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(xl<=mid) queryx(kx<<1,l,mid);
if(xr>mid) queryx(kx<<1|1,mid+1,r);
}
2、矩阵修改+单点查询
修改
访问左上角为（x1，y1），右下角为（x2，y2）的矩阵
sum[i][j] 表示的是这个节点所代表的矩阵的整体访问次数
即这个矩阵的每一个位置都会有一个sum[i][j]的访问次数
void changey(int kx,int ky,int l,int r) { if(y1<=l&&r<=y2) { sum[kx][ky]++; return; } int mid=l+r>>1; if(y1<=mid) changey(kx,ky<<1,l,mid); if(y2>mid) changey(kx,ky<<1|1,mid+1,r); } void changex(int kx,int l,int r) { if(x1<=l&&r<=x2) { changey(kx,1,1,n); return; } int mid=l+r>>1; if(x1<=mid) changex(kx<<1,l,mid); if(x2>mid) changex(kx<<1|1,mid+1,r); }
查询
查询位置（x，y）的访问次数
因为sum[i][j] 表示的是一个矩阵的整体访问次数，所以找（x，y）经过的所有点都要累计其访问次数
void queryy(int kx,int ky,int l,int r) { ans+=sum[kx][ky]; if(l==r) return; int mid=ly+ry>>1; if(y<=mid) queryy(kx,ky<<1,l,mid); else queryy(kx,ky<<1|1,mid+1,r); } void queryx(int kx,int l,int r) { queryy(kx,1,1,n); if(l==r) return; int mid=l+r>>1; if(x<=mid) queryx(kx<<1,l,mid); else queryx(kx<<1|1,mid+1,r); }
这两个sum[][] 含义不同，是为了适应不同的修改方式
一个是单点修改，一个是矩阵修改
而且矩阵修改不带标记下传
