最小顶点覆盖
定义：能覆盖所有的边的最少顶点数(或是最小点权和)
计算方法：最小顶点覆盖 = 最大匹配数
最大独立集
定义：两两互不相邻的点组成的集合的最大点数(或是最大点权和)
计算方法：最大独立集 = 点总数 - 最小顶点覆盖
例题：方格取数问题（https://daniu.luogu.org/problemnew/show/2774）
我们以最大点权和(最大独立集就是点权全为1)为例证明：
一个二分图集合{X}、{Y}，
[1> 从S向{X}连一条流量为点权的边。
[2> 从{Y}向T连一条流量为点权的边。
[3> 把 不能相邻或同时选的两点 之间连接一条流量为INF的边。
那么答案 = 所有点点权和 - 此二分图的最小割。
显然当S与T联通时，说明有不合法的选点。
那么对于任意一个不合法选点，要么断掉（S - {X}）这条边，要么断掉（{Y} - T）这条边。
这不就是最小割吗，最小割=最大流=最小顶点覆盖，即得证。
最小路径覆盖
定义：能覆盖所有点的最少路径数 [不要求为二分图]
如此图的最小路径覆盖为3。
为1->3->4->6与2与5->7。（注：每个点只能到一次）。
计算方法1：最小路径覆盖 = 最大流的最小费用(特殊建图)
例题：[SDOI2010]星际竞速（ https://www.luogu.org/problemnew/show/P2469）
证明1：用最小费用流证明：
把每一个点拆成 i 与 i‘ ，形成一个二分图，如下连边：
[1> 从S向{i}连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[2> 从{i‘}向T连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[3> 如果a-->b在原图上有边，那么a 到 b‘ 连一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[4> 从S向{i‘}连一条 \(cap=1,cost=1\) 的边。
那么此时，每条S-->i‘的边就对应选择了一条路径，费用为1，等于选择了一个起点。
最终的最少路径数为：此图的最小费用最大流的费用值。
当所求为路径权值最小时，做法一样，只需把
[4> 中连边的边的cost设为对应的从某点出发代价。
[3> 中连边的代价设为对应的路径长度。
然后一样的跑最小费用最大流，答案为最终跑出来的费用。（这个变式详见例题）
计算方法2：最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数（特殊建图）
证明2：用最大流证明：
把每一个点拆成i 与 i‘ ,形成一个二分图，只连接法一中的[1>、[2>、[3>的边。
[1> 从S向{i}连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[2> 从{i‘}向T连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[3> 如果a-->b在原图上有边，那么a 到 b‘ 连一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
然后显然每一个点会优先尝试由S流通到T，但由于[3>中cap=1的限制，有些点流通不了。
那么剩下的这些点只能作为起点 。
所以求最大匹配即求最多可流通点数，剩下的点只能作为路径起点，即为选择了一条路径。
即证毕。
最大权闭合子图
定义：给定一个有向图，从中选择一些点组成一个点集V。对于V中任意一个点，其后续节点都仍然在V中。
计算方法：最大权=所有正点和-最小割
例题：太空飞行计划问题（https://www.luogu.org/problemnew/show/2762）
证明：
一般来说，这类问题都与最佳收益有关。
这里就以这个为例，假设实验集合{X}的点选择会有收益，器材集合{Y}的点选择会有损失。
但是要选择Xi则必须选择{Ya , Yb , ....}一个{Y}的集合。问最大收益？ （同例题）
我们假设{X}中的所有收益都获取到了。
那么最终答案为 总收益 - 总损失，现在我们只需要最小化总损失。
我们如下连边：
[1> 从S向{X}连一条 流量限制 为收益的边。
[2> 从{Y}向T连一条 流量限制 为损失的边。
[3> 若选Xi必须要选Yj，那么由Xi向Yj连一条 流量限制 为INF的边。
那么最小损失就是最小割。
我们可以这么理解：S表示选择，T表示不选择。
一个东西不能既选又不选，所以S->X 与 Y->T的其中一条边是一定要断掉的。
[A> 如果割掉S->X的边，则实验Xi被划分到了 不选(T) 中去，损失为实验收益（没有进行此实验，无收益）
[B> 如果割掉Y->T的边，则器材Yi被划分到了 选择(S) 中，损失为器材费用（购买了此器材）
所以当割掉最小割时，达到最优的平衡状态，为最大权闭合子图的补集。
即证毕。
